Касательные в точках А и В к окружности с центром О пересекаются под углом 78°. Найдите угол АВО.

Чтобы найти угол \( АВО \), давайте рассмотрим свойства касательных и углы, образуемые с радиусом.

1. Поскольку \( OA \) и \( OB \) - радиусы окружности, они перпендикулярны соответствующим касательным \( AC \) и \( BD \) в точках касания \( A \) и \( B \). То есть, угол между радиусом и касательной равен 90°: \[ \angle OAC = 90° \quad \text{и} \quad \angle OBD = 90°. \]

2. Угол между двумя касательными \( AC \) и \( BD \) равен 78°. Рассмотрим треугольник \( OAB \). Мы имеем: \[ \angle AOB = \angle OAC + \angle AOB + \angle OBD. \]

3. Поскольку \( \angle OAC \) и \( \angle OBD \) по 90°, можем написать уравнение: \[ \angle AOB = 90° + 90° - 78° = 180° - 78° = 102°. \]

4. Угла \( AOB \) делит угол \( AOB \) на два равных угла \( \angle AOB = 2 \times \angle AVO \) по свойству касательных к окружности: \[ \angle AVO = \frac{102°}{2} = 51°. \]

Таким образом, угол \( AVO \) равен 51°.