Постройте в одной системе координат графики функций y=4/x и y=x-3 и запишите координаты точек их пересечения
Для построения графиков функций \(y = \frac{4}{x}\) и \(y = x - 3\) в одной системе координат, а также для нахождения точек их пересечения, следуем следующему алгоритму.
Найдем точки пересечения. Для этого приравняем оба уравнения: \[ \frac{4}{x} = x - 3. \]
Умножим обе стороны на \(x\) (при условии, что \(x \neq 0\)): \[ 4 = x^2 - 3x. \] Перепишем уравнение в стандартной форме: \[ x^2 - 3x - 4 = 0. \]
Решим квадратное уравнение. Для этого воспользуемся формулой корней квадратного уравнения: \[ x = \frac{-b \pm \sqrt{b^2 - 4ac}}{2a}, \] где \(a = 1\), \(b = -3\), \(c = -4\): \[ x = \frac{3 \pm \sqrt{(-3)^2 - 4 \cdot 1 \cdot (-4)}}{2 \cdot 1} = \frac{3 \pm \sqrt{9 + 16}}{2} = \frac{3 \pm \sqrt{25}}{2} = \frac{3 \pm 5}{2}. \]
Получаем два значения: \[ x_1 = \frac{8}{2} = 4 \quad и \quad x_2 = \frac{-2}{2} = -1. \]
Найдем соответствующие значения \(y\) для этих \(x\) в любом из уравнений (например, во втором):
- Для \(x_1 = 4\): \[ y_1 = 4 - 3 = 1. \]
- Для \(x_2 = -1\): \[ y_2 = -1 - 3 = -4. \]
Таким образом, координаты точек пересечения графиков \(y = \frac{4}{x}\) и \(y = x - 3\):
- Первая точка: \( (4, 1) \)
- Вторая точка: \( (-1, -4) \)
- Построение графиков:
- График функции \(y = \frac{4}{x}\) будет гиперболой, имеющей асимптоты.
- График функции \(y = x - 3\) — это прямая с угловым коэффициентом 1, пересекающая ось \(y\) в точке \((0, -3)\).
Для визуализации вы можете использовать графические калькуляторы или программное обеспечение для построения графиков, чтобы увидеть, как эти функции выглядят по отношению друг к другу в единых координатах.
