Площади поршней гидравлического пресса равны 57 и 1300 см2. На больший поршень становится человек массой 84 кг. Определите, на какую высоту поднимется при этом малый поршень, если пресс заполнен водой.

Question 1

Задача Задача №2395063

А

Аноним

02 декабря 2024 14:32 · публичный вопрос

А

Аноним 02 декабря 2024 14:32

Площади поршней гидравлического пресса равны 57 и 1300 см2. На больший поршень становится человек массой 84 кг. Определите, на какую высоту поднимется при этом малый поршень, если пресс заполнен водой.

Answer

Для решения задачи воспользуемся законом Паскаля, который гласит, что при изменении давления в одной части замкнутой жидкости это давление передается одинаково во всех направлениях.

Пусть:

\( S_1 = 57 \, \text{см}^2 \) — площадь малого поршня,
\( S_2 = 1300 \, \text{см}^2 \) — площадь большого поршня,
\( m = 84 \, \text{кг} \) — масса человека на большом поршне,
\( g = 9.81 \, \text{м/с}^2 \) — ускорение свободного падения.

Сначала найдем силу, действующую на большом поршне:

\[ F_2 = m \cdot g = 84 \, \text{кг} \cdot 9.81 \, \text{м/с}^2 \approx 823.64 \, \text{Н}. \]

Теперь найдем давление, которое создается на большом поршне:

\[ P_2 = \frac{F_2}{S_2} = \frac{823.64 \, \text{Н}}{1300 \, \text{см}^2} = \frac{823.64 \, \text{Н}}{0.13 \, \text{м}^2} \approx 6342.77 \, \text{Па}. \]

Теперь рассчитаем давление на малом поршне:

\[ P_1 = P_2 = 6342.77 \, \text{Па}. \]

Сила, действующая на малый поршень, будет равна:

\[ F_1 = P_1 \cdot S_1 = 6342.77 \, \text{Па} \cdot 0.0057 \, \text{м}^2 \approx 36.12 \, \text{Н}. \]

Теперь, используя закон сохранения объема (при увеличении высоты одного поршня, объем жидкости остается постоянным):

\[ S_1 \cdot h_1 = S_2 \cdot h_2, \]

где \( h_1 \) — высота подъема малого поршня, \( h_2 \) — высота, на которую опустился большой поршень. Мы можем выразить \( h_2 \) через силу:

Высота, на которую опустится большой поршень:

Так как массы равны, используя площади поршней и закон Паскаля, можно сказать, что:

\[ \frac{h_1}{h_2} = \frac{S_2}{S_1} = \frac{1300 \, \text{см}^2}{57 \, \text{см}^2} \approx 22.81. \]

Если \( h_2 \) – это небольшое изменение высоты, на которое опустится большой поршень, то:

\[ h_1 \approx \frac{h_2}{22.81}. \]

Следовательно, если мы принимаем \( h_2 = h \), тогда:

\[ h_1 \approx \frac{h}{22.81}. \]

Принимаем, что \( h_2 = \text{некоторое изменение высоты поршня} (например, 1 см или 0.01 м) \).

Таким образом, если \( h_2 = 1 \, \text{см} \):

\[ h_1 \approx \frac{1 \, \text{см}}{22.81} \approx 0.0438 \, \text{см} \approx 0.438 \, \text{мм}. \]

Таким образом, малый поршень поднимется примерно на 0.044 см или 0.438 мм при подъеме большого поршня на 1 см.

Question 2

Площади поршней гидравлического пресса равны 57 и 1300 см2. На больший поршень становится человек массой 84 кг. Определите, на какую высоту поднимется при этом малый поршень, если пресс заполнен водой.

Answer

Для решения задачи воспользуемся законом Паскаля, который гласит, что при изменении давления в одной части замкнутой жидкости это давление передается одинаково во всех направлениях. Пусть: - \( S_1 = 57 \, \text{см}^2 \) — площадь малого поршня, - \( S_2 = 1300 \, \text{см}^2 \) — площадь большого поршня, - \( m = 84 \, \text{кг} \) — масса человека на большом поршне, - \( g = 9.81 \, \text{м/с}^2 \) — ускорение свободного падения. Сначала найдем силу, действующую на большом поршне: \[ F_2 = m \cdot g = 84 \, \text{кг} \cdot 9.81 \, \text{м/с}^2 \approx 823.64 \, \text{Н}. \] Теперь найдем давление, которое создается на большом поршне: \[ P_2 = \frac{F_2}{S_2} = \frac{823.64 \, \text{Н}}{1300 \, \text{см}^2} = \frac{823.64 \, \text{Н}}{0.13 \, \text{м}^2} \approx 6342.77 \, \text{Па}. \] Теперь рассчитаем давление на малом поршне: \[ P_1 = P_2 = 6342.77 \, \text{Па}. \] Сила, действующая на малый поршень, будет равна: \[ F_1 = P_1 \cdot S_1 = 6342.77 \, \text{Па} \cdot 0.0057 \, \text{м}^2 \approx 36.12 \, \text{Н}. \] Теперь, используя закон сохранения объема (при увеличении высоты одного поршня, объем жидкости остается постоянным): \[ S_1 \cdot h_1 = S_2 \cdot h_2, \] где \( h_1 \) — высота подъема малого поршня, \( h_2 \) — высота, на которую опустился большой поршень. Мы можем выразить \( h_2 \) через силу: 1. Высота, на которую опустится большой поршень: Так как массы равны, используя площади поршней и закон Паскаля, можно сказать, что: \[ \frac{h_1}{h_2} = \frac{S_2}{S_1} = \frac{1300 \, \text{см}^2}{57 \, \text{см}^2} \approx 22.81. \] Если \( h_2 \) – это небольшое изменение высоты, на которое опустится большой поршень, то: \[ h_1 \approx \frac{h_2}{22.81}. \] Следовательно, если мы принимаем \( h_2 = h \), тогда: \[ h_1 \approx \frac{h}{22.81}. \] Принимаем, что \( h_2 = \text{некоторое изменение высоты поршня} (например, 1 см или 0.01 м) \). Таким образом, если \( h_2 = 1 \, \text{см} \): \[ h_1 \approx \frac{1 \, \text{см}}{22.81} \approx 0.0438 \, \text{см} \approx 0.438 \, \text{мм}. \] Таким образом, малый поршень поднимется примерно на 0.044 см или 0.438 мм при подъеме большого поршня на 1 см.