В урне первоначально было 12 белых и 6 чёрных шаров, а потом какие-то два шара потерялись. Затем из урны вынули шар, и он оказался белым. Найти вероятность, что потерялись шары разного цвета.
Для решения этой задачи мы можем использовать теорію условной вероятности. Обозначим события следующим образом:
- \( A \) — событие, что потерялись шары разного цвета.
- \( B \) — событие, что вынутый шар белый.
Сначала найдем вероятность \( P(B|A) \) — вероятность того, что вынутый шар белый, если потерялись шары разного цвета. Если шар потерялся белый и черный, то в урне осталось 11 белых и 5 черных шаров. Из 16 оставшихся шаров 11 белые. Таким образом:
\[ P(B|A) = \frac{11}{16} \]
Теперь найдем вероятность \( P(B|\neg A) \) — вероятность того, что вынутый шар белый, если потерялись шары одного цвета. Потерялись либо два белых шара либо два черных шара:
- Если потерялись 2 белых шара, то в урне останется 10 белых и 6 черных. Вероятность вынуть белый шар:
\[ P(B|2 \text{ белых}) = \frac{10}{16} = \frac{5}{8} \]
- Если потерялись 2 черных шара, то в урне останется 12 белых и 4 черных. Вероятность вынуть белый шар:
\[ P(B|2 \text{ черных}) = \frac{12}{16} = \frac{3}{4} \]
Теперь найдем общую вероятность того, что потерялись шары одного цвета. Предположим, что потерялись 2 белых или 2 черных со стороны равновероятны. Таким образом, имеем:
\[ P(B|\neg A) = \frac{1}{2} P(B|2 \text{ белых}) + \frac{1}{2} P(B|2 \text{ черных}) = \frac{1}{2} \cdot \frac{5}{8} + \frac{1}{2} \cdot \frac{3}{4} \]
\[ = \frac{5}{16} + \frac{6}{16} = \frac{11}{16} \]
Теперь можем использовать формулу полной вероятности для события \( B \):
\[ P(B) = P(B|A)P(A) + P(B|\neg A)P(\neg A) \]
Предполагая, что вероятность потерять шары разного цвета \( P(A) \) и одинакового цвета \( P(\neg A) \) равны (по причине равновероятного выбора), получаем:
\[ P(A) = P(\neg A) = \frac{1}{2} \]
Таким образом:
\[ P(B) = \frac{11}{16} \cdot \frac{1}{2} + \frac{11}{16} \cdot \frac{1}{2} = \frac{11}{16} \]
Теперь можем найти искомую вероятность \( P(A|B) \) с помощью формулы Байеса:
\[ P(A|B) = \frac{P(B|A)P(A)}{P(B)} \]
Подставим известные значения:
\[ P(A|B) = \frac{\frac{11}{16} \cdot \frac{1}{2}}{\frac{11}{16}} = \frac{1}{2} \]
Таким образом, вероятность того, что потерялись шары разного цвета, равна \( \frac{1}{2} \) или 50%.
