Найдите координаты центра O(a; b) и радиус описанной окружности треугольника с вершинами в точках A(1; 1), B(8; 2), C(7; 9)

Чтобы найти координаты центра описанной окружности (O) и радиус этой окружности для треугольника с вершинами в точках A(1; 1), B(8; 2) и C(7; 9), мы можем воспользоваться следующими формулами.

1. Координаты центра описанной окружности (O):

Координаты центра описанной окружности для треугольника можно найти с помощью формул:

\[ D = 2 \cdot (x_1(y_2-y_3) + x_2(y_3-y_1) + x_3(y_1-y_2)) \]

\[ O_x = \frac{1}{D} \cdot ((x_1^2 + y_1^2)(y_2 - y_3) + (x_2^2 + y_2^2)(y_3 - y_1) + (x_3^2 + y_3^2)(y_1 - y_2)) \]

\[ O_y = \frac{1}{D} \cdot ((x_1^2 + y_1^2)(x_3 - x_2) + (x_2^2 + y_2^2)(x_1 - x_3) + (x_3^2 + y_3^2)(x_2 - x_1)) \]

Для нашего случая подставим точки A(1; 1), B(8; 2), C(7; 9):

• \( x_1 = 1, y_1 = 1 \)
• \( x_2 = 8, y_2 = 2 \)
• \( x_3 = 7, y_3 = 9 \)

Сначала вычислим значение D:

\[ D = 2 \cdot (1(2-9) + 8(9-1) + 7(1-2)) = 2 \cdot (1 \cdot (-7) + 8 \cdot 8 + 7 \cdot (-1)) \] \[ = 2 \cdot (-7 + 64 - 7) = 2 \cdot 50 = 100 \]

Теперь найдем O_x:

\[ O_x = \frac{1}{100} \cdot ((1^2 + 1^2)(2-9) + (8^2 + 2^2)(9-1) + (7^2 + 9^2)(1-2)) \] \[ = \frac{1}{100} \cdot ((1 + 1)(-7) + (64 + 4)(8) + (49 + 81)(-1)) \] \[ = \frac{1}{100} \cdot (2 \cdot (-7) + 68 \cdot 8 + 130 \cdot (-1)) \] \[ = \frac{1}{100} \cdot (-14 + 544 - 130) = \frac{1}{100} \cdot 400 = 4 \]

Теперь найдем O_y:

\[ O_y = \frac{1}{100} \cdot ((1^2 + 1^2)(7-8) + (8^2 + 2^2)(1-7) + (7^2 + 9^2)(8-1)) \] \[ = \frac{1}{100} \cdot ((2)(-1) + (64 + 4)(-6) + (49 + 81)(7)) \] \[ = \frac{1}{100} \cdot (-2 - 408 + 910) \] \[ = \frac{1}{100} \cdot 500 = 5 \]

Таким образом, координаты центра описанной окружности O равны (4; 5).

2. Радиус описанной окружности (R):

Радиус описанной окружности можно найти по формуле:

\[ R = \frac{abc}{4S} \]

где a, b и c — длины сторон треугольника, а S — площадь треугольника.

• Чтобы найти длины сторон, используем формулы расстояний:

  • \( a = AB = \sqrt{(x_2 - x_1)^2 + (y_2 - y_1)^2} = \sqrt{(8 - 1)^2 + (2 - 1)^2} = \sqrt{49 + 1} = \sqrt{50} \)
  • \( b = BC = \sqrt{(x_3 - x_2)^2 + (y_3 - y_2)^2} = \sqrt{(7 - 8)^2 + (9 - 2)^2} = \sqrt{1 + 49} = \sqrt{50} \)
  • \( c = CA = \sqrt{(x_1 - x_3)^2 + (y_1 - y_3)^2} = \sqrt{(1 - 7)^2 + (1 - 9)^2} = \sqrt{36 + 64} = \sqrt{100} = 10 \)

• Площадь треугольника S можно найти по формуле:

\[ S = \frac{1}{2} \cdot |x_1(y_2 - y_3) + x_2(y_3 - y_1) + x_3(y_1 - y_2)| \] \[ = \frac{1}{2} \cdot |1(2 - 9) + 8(9 - 1) + 7(1 - 2)| \] \[ = \frac{1}{2} \cdot |-7 + 64 - 7| = \frac{1}{2} \cdot 50 = 25 \]

Теперь можем подставить значения в формулу для радиуса:

\[ R = \frac{(\sqrt{50})(\sqrt{50})(10)}{4 \cdot 25} = \frac{50 \cdot 10}{100} = 5 \]

Итак, радиус описанной окружности R равен 5.

Итог:

• Координаты центра описанной окружности O: (4; 5)
• Радиус R: 5