Реши уравнение x²+y²-2x+6y=0. В ответе укажите наибольшее число x-3y

Чтобы решить уравнение \(x^2 + y^2 - 2x + 6y = 0\), сначала упростим его. Мы можем сгруппировать компоненты \(x\) и \(y\), чтобы создать полные квадраты.

Для \(x\):

\[ x^2 - 2x = (x - 1)^2 - 1 \]

Для \(y\):

\[ y^2 + 6y = (y + 3)^2 - 9 \]

Теперь подставим эти выражения обратно в уравнение:

\[ (x - 1)^2 - 1 + (y + 3)^2 - 9 = 0 \]

Упростим:

\[ (x - 1)^2 + (y + 3)^2 - 10 = 0 \]

Переносим 10 на другую сторону:

\[ (x - 1)^2 + (y + 3)^2 = 10 \]

Это уравнение описывает окружность с центром в точке \((1, -3)\) и радиусом \(\sqrt{10}\).

Теперь мы можем найти максимальное значение \(x - 3y\). Для этого выразим \(y\) через \(x\):

\[ y = -\frac{1}{3}(x - 1)^2 - 3 \]

Теперь подставим это в выражение \(x - 3y\):

\[ x - 3y = x + 3\left(\frac{1}{3}(x - 1)^2 + 3\right) = x + (x - 1)^2 + 9 \]

Теперь нам нужно максимизировать \(x - 3y\) на данной окружности. Чтобы найти максимальные значения \(x\) и \(y\), мы можем рассмотреть крайние точки окружности.

Центр окружности — точка \((1, -3)\), и радиус равен \(\sqrt{10}\). Поэтому максимальное значение \(x\) будет:

\[ x_{\max} = 1 + \sqrt{10} \]

Подставим это значение в выражение для \(y\):

\[ y = -3 \]

Теперь подставим \(x_{\max}\) и \(y\) в \(x - 3y\):

\[ x - 3y = (1 + \sqrt{10}) - 3(-3) = 1 + \sqrt{10} + 9 = 10 + \sqrt{10} \]

Таким образом, наибольшее значение \(x - 3y\) равно \(10 + \sqrt{10}\).