Реши уравнение x²+y²-2x+6y=0. В ответе укажите наибольшее число x-3y
Для решения уравнения \( x^2 + y^2 - 2x + 6y = 0 \) сначала преобразуем его в более удобный вид. Мы можем сгруппировать и выделить полный квадрат.
Начнем с выделения полного квадрата для \( x \): \[ x^2 - 2x = (x-1)^2 - 1. \]
Теперь выделим полный квадрат для \( y \): \[ y^2 + 6y = (y+3)^2 - 9. \]
Теперь подставим выделенные квадраты обратно в уравнение: \[ (x-1)^2 - 1 + (y+3)^2 - 9 = 0. \] Упростим это: \[ (x-1)^2 + (y+3)^2 - 10 = 0, \] или \[ (x-1)^2 + (y+3)^2 = 10. \]
Это уравнение описывает окружность с центром в точке \( (1, -3) \) и радиусом \( \sqrt{10} \).
Теперь нам нужно найти максимальное значение \( x - 3y \). Подставим \( y \) из уравнения окружности:
Из переписанного уравнения окружности можем выразить \( y \): \[ (y+3)^2 = 10 - (x-1)^2. \]
Теперь \( y = -3 + \sqrt{10 - (x-1)^2}\) или \(y = -3 - \sqrt{10 - (x-1)^2}\).
Теперь подставим \( y \) в выражение \( x - 3y \): \[ x - 3y = x - 3(-3 + \sqrt{10 - (x-1)^2}) = x + 9 - 3\sqrt{10 - (x-1)^2} \] или \[ x - 3y = x - 3(-3 - \sqrt{10 - (x-1)^2}) = x + 9 + 3\sqrt{10 - (x-1)^2}. \]
Для нахождения максимума удобно рассмотреть второй случай: \[ x - 3y = x + 9 + 3\sqrt{10 - (x-1)^2}. \] Максимальное значение \( x - 3y \) достигается при максимальном \( \sqrt{10 - (x-1)^2} \), то есть когда \( x-1 = 0 \), что является центром окружности.
Таким образом, подставим это значение: \[ x = 1 \rightarrow \sqrt{10 - (1-1)^2} = \sqrt{10}. \] Теперь вычислим: \[ x - 3y = 1 + 9 + 3\sqrt{10} = 10 + 3\sqrt{10}. \]
Теперь заметьте, при максимальном \( \sqrt{10 - (x-1)^2} \) мы получили 10 как базу с добавлением \( 3\sqrt{10} \).
Таким образом, максимальное значение \( x - 3y \) равно: \[ \boxed{10 + 3\sqrt{10}}. \]
