Найди сторону АС треугольника ABC, если сторона AB равна 10, а углы A и С равны 15° и 45° соответственно

Для нахождения стороны AC в треугольнике ABC, где сторона AB = 10, угол A = 15° и угол C = 45°, мы можем использовать синусное правило.

Сначала найдём угол B:

\[ \angle B = 180° - \angle A - \angle C = 180° - 15° - 45° = 120° \]

Теперь можем использовать синусное правило, которое гласит, что отношение стороны к синусу противоположного угла одинаково для всех сторон треугольника. В нашем случае это выглядит так:

\[ \frac{AB}{\sin C} = \frac{AC}{\sin B} \]

Подставим известные значения:

\[ \frac{10}{\sin 45°} = \frac{AC}{\sin 120°} \]

Зная, что \(\sin 45° = \frac{\sqrt{2}}{2}\) и \(\sin 120° = \sin(180° - 60°) = \sin 60° = \frac{\sqrt{3}}{2}\), подставим их в уравнение:

\[ \frac{10}{\frac{\sqrt{2}}{2}} = \frac{AC}{\frac{\sqrt{3}}{2}} \]

Упрощаем левую часть:

\[ \frac{10 \cdot 2}{\sqrt{2}} = \frac{20}{\sqrt{2}} = 10\sqrt{2} \]

Теперь у нас есть:

\[ 10\sqrt{2} = \frac{AC}{\frac{\sqrt{3}}{2}} \]

Умножим обе стороны на \(\frac{\sqrt{3}}{2}\):

\[ AC = 10\sqrt{2} \cdot \frac{\sqrt{3}}{2} = 5\sqrt{6} \]

Таким образом, сторона AC равна \(5\sqrt{6}\).