Найди сторону АС треугольника ABC, если сторона AB равна 10, а углы A и С равны 15° и 45° соответственно

Для нахождения стороны \( AC \) треугольника \( ABC \) можно использовать закон синусов. Сначала определим угол \( B \):

\[ B = 180° - A - C = 180° - 15° - 45° = 120° \]

Теперь мы имеем:

• \( AB = 10 \)
• \( \angle A = 15° \)
• \( \angle B = 120° \)
• \( \angle C = 45° \)

Согласно закону синусов:

\[ \frac{AC}{\sin B} = \frac{AB}{\sin C} \]

Подставим известные значения:

\[ \frac{AC}{\sin 120°} = \frac{10}{\sin 45°} \]

Зная, что \( \sin 120° = \frac{\sqrt{3}}{2} \) и \( \sin 45° = \frac{\sqrt{2}}{2} \), подставим эти значения в уравнение:

\[ \frac{AC}{\frac{\sqrt{3}}{2}} = \frac{10}{\frac{\sqrt{2}}{2}} \]

Упростим правую сторону:

\[ \frac{10}{\frac{\sqrt{2}}{2}} = 10 \cdot \frac{2}{\sqrt{2}} = \frac{20}{\sqrt{2}} = 10\sqrt{2} \]

Теперь у нас есть следующее уравнение:

\[ \frac{AC}{\frac{\sqrt{3}}{2}} = 10\sqrt{2} \]

Умножим обе стороны на \( \frac{\sqrt{3}}{2} \):

\[ AC = 10\sqrt{2} \cdot \frac{\sqrt{3}}{2} = 5\sqrt{6} \]

Таким образом, сторона \( AC \) равна \( 5\sqrt{6} \).