Решение задач по теме «Импульс. Закон сохранения импульса» 1. Поезд массой 500 т после прекращения действия тяги останавливается в результате трения за время. равное 1 мин.…
Решение задач по теме «Импульс. Закон сохранения импульса» 1. Поезд массой 500 т после прекращения действия тяги останавливается в результате трения за время. равное 1 мин. Определите скорость поезда до начала торможения. Сила трения 10 Н. 2. Как измениться импульс тела, массой 200г при поднятии на высоту 5 м, если тело было брошено вверх со скоростью 12 м/с? 3. Вагон массой 60 т, который движется со скоростью 2 м/с, сцепляется с вагоном массой 40 т, который покоился. Определите скорость системы после автосцепки. 4. Человек, бегущий со скоростью 7 м/с, догоняет тележку, движущуюся со скоростью 2 м/с, и вскакивает на нее. С какой скоростью станет двигаться тележка после этого? Массы человека и тележки соответственно равны 70 и 30 кг. 5. От двухступенчатой ракеты, общая масса которой равна 1 т, в момент достижения скорости 171 м/с отделилась вторая ступень массой 0,4 т. При этом ее скорость увеличилась до 185 м/с. Найдите скорость, с которой стала двигаться первая ступень ракеты. 6. При формировании железнодорожного состава три сцепленных между собой вагона, движущиеся со скоростью 0,4 м/с, сталкиваются с неподвижным вагоном, после чего все четыре вагона продолжают двигаться в том же направлении с одинаковой скоростью. Определите эту скорость, если массы всех вагонов одинаковы.
Давайте решим каждую задачу по порядку.
Задача о поезде: Дано:
- Масса поезда \( m = 500 \, \text{т} = 500000 \, \text{кг} \)
- Сила трения \( F = 10 \, \text{Н} \)
- Время остановки \( t = 1 \, \text{мин} = 60 \, \text{с} \)
Используем второй закон Ньютона для нахождения ускорения, так как сила трения является единственной воздействующей силой:
\[ F = m \cdot a \implies a = \frac{F}{m} = \frac{10 \, \text{Н}}{500000 \, \text{кг}} = 2 \times 10^{-5} \, \text{м/с}^2 \]
Учитывая, что это замедление, и оно отрицательное:
\[ a = -2 \times 10^{-5} \, \text{м/с}^2 \]
Теперь можем использовать формулу скорости при равномерно ускоренном движении:
\[ v = v_0 + a t \]
Когда поезд останавливается, конечная скорость \( v = 0 \). Поэтому:
\[ 0 = v_0 - 2 \times 10^{-5} \cdot 60 \]
Находим начальную скорость \( v_0 \):
\[ v_0 = 2 \times 10^{-5} \cdot 60 = 0.0012 \, \text{м/с} \]
Итак, начальная скорость поезда до торможения составляет 0.0012 м/с.
Задача о теле, поднимаемом на высоту: Дано:
- Масса тела \( m = 200 \, \text{г} = 0.2 \, \text{кг} \)
- Высота \( h = 5 \, \text{м} \)
- Начальная скорость \( v_0 = 12 \, \text{м/с} \)
Импульс тела перед подъемом:
\[ p_0 = m \cdot v_0 = 0.2 \cdot 12 = 2.4 \, \text{кг} \cdot \text{м/с} \]
После подъема, потенциальная энергия тела увеличивается, и его скорость изменится. Для нахождения конечной скорости можно использовать закон сохранения энергии:
Полная энергия на высоте:
\[ E = mgh + \frac{1}{2}mv^2 \]
В момент, когда тело поднимается на 5 м, потенциальная энергия становится \( E_p = mgh = 0.2 \cdot 9.81 \cdot 5 = 9.81 \, \text{Дж} \).
Сначала вычислим полную энергию при старте:
\[ E_0 = \frac{1}{2}mv_0^2 = \frac{1}{2} \cdot 0.2 \cdot 12^2 = 14.4 \, \text{Дж} \]
После подъема:
\[ E_{total} = E_p + \frac{1}{2}mv^2 \implies 14.4 = 9.81 + \frac{1}{2} \cdot 0.2 \cdot v^2 \]
Решаем это уравнение для \( v \):
\[ 14.4 - 9.81 = 0.1 \cdot v^2 \implies 4.59 = 0.1 \cdot v^2 \implies v^2 = 45.9 \implies v \approx 6.78 \, \text{м/с} \]
Теперь можем найти изменение импульса:
\[ p = m \cdot v = 0.2 \cdot 6.78 \approx 1.356 \, \text{кг} \cdot \text{м/с} \]
Импульс изменится на:
\[ \Delta p = p - p_0 = 1.356 - 2.4 \approx -1.044 \, \text{кг} \cdot \text{м/с} \]
Задача о вагонах: Дано:
- Масса первого вагона \( m_1 = 60 \, \text{т} = 60000 \, \text{кг} \)
- Скорость первого вагона \( v_1 = 2 \, \text{м/с} \)
- Масса второго вагона \( m_2 = 40 \, \text{т} = 40000 \, \text{кг} \)
- Скорость второго вагона \( v_2 = 0 \)
Находим полную импульс до сцепки:
\[ p_{total\_1} = m_1 \cdot v_1 + m_2 \cdot v_2 = 60000 \cdot 2 + 40000 \cdot 0 = 120000 \, \text{кг} \cdot \text{м/с} \]
После сцепки система имеет массу \( m_{total} = m_1 + m_2 = 100000 \, \text{кг} \).
Обозначим скорость системы после сцепки как \( v_f \):
\[ p_{total\_2} = m_{total} \cdot v_f \]
По закону сохранения импульса:
\[ p_{total\_1} = p_{total\_2} \implies 120000 = 100000 \cdot v_f \implies v_f = \frac{120000}{100000} = 1.2 \, \text{м/с} \]
Скорость системы после автосцепки составляет 1.2 м/с.
Задача о человеке и тележке: Дано:
- Скорость человека \( v_{p} = 7 \, \text{м/с} \)
- Скорость тележки \( v_{t} = 2 \, \text{м/с} \)
- Масса человека \( m_p = 70 \, \text{кг} \)
- Масса тележки \( m_t = 30 \, \text{кг} \)
Используем закон сохранения импульса:
\[ p_{total\_before} = m_p \cdot v_p + m_t \cdot v_t \]
Подставляем значения:
\[ p_{total\_before} = 70 \cdot 7 + 30 \cdot 2 = 490 + 60 = 550 \, \text{кг} \cdot \text{м/с} \]
После того как человек вскочит на тележку, они будут двигаться с общей массой \( m_{total} = m_p + m_t = 100 \, \text{кг} \) с скоростью \( v_f \):
\[ p_{total\_after} = m_{total} \cdot v_f \]
По закону сохранения импульса:
\[ p_{total\_before} = p_{total\_after} \implies 550 = 100 \cdot v_f \implies v_f = 5.5 \, \text{м/с} \]
Таким образом, тележка после того, как человек на неё вскочил, будет двигаться со скоростью 5.5 м/с.
Задача о ракете: Дано:
- Общая масса ракеты \( m_{total} = 1 \, \text{т} = 1000 \, \text{кг} \)
- Скорость ракеты до отделения второй ступени \( v_{initial} = 171 \, \text{м/с} \)
- Масса второй ступени \( m_2 = 0.4 \, \text{т} = 400 \, \text{кг} \)
- Скорость второй ступени после отделения \( v_{2\_after} = 185 \, \text{м/с} \)
Находим массу первой ступени:
\[ m_1 = m_{total} - m_2 = 1000 - 400 = 600 \, \text{кг} \]
Используем закон сохранения импульса:
Полный импульс до отделения:
\[ p_{before} = m_{total} \cdot v_{initial} = 1000 \cdot 171 = 171000 \, \text{кг} \cdot \text{м/с} \]
После отделения:
\[ p_{after} = m_1 \cdot v_{1\_after} + m_2 \cdot v_{2\_after} \]
Подставим значение \( m_2 \):
\[ 171000 = 600 \cdot v_{1\_after} + 400 \cdot 185 \]
Вычисляем импульс второй ступени после отделения:
\[ 400 \cdot 185 = 74000 \, \text{кг} \cdot \text{м/с} \]
Теперь можем найти \( v_{1\_after} \):
\[ 171000 = 600 \cdot v_{1\_after} + 74000 \] \[ 171000 - 74000 = 600 \cdot v_{1\_after} \] \[ 97000 = 600 \cdot v_{1\_after} \] \[ v_{1\_after} = \frac{97000}{600} \approx 161.67 \, \text{м/с} \]
Скорость первой ступени ракеты после отделения составляет примерно 161.67 м/с.
Задача о железнодорожном составе: Дано:
- Масса одного вагона \( m = \) (не указана, но массы одинаковые)
- Скорость трех вагоно́в до столкновения \( v_1 = 0.4 \, \text{м/с} \)
- Масса четырех ваго́нов \( 4m \)
Перед столкновением:
\[ p_{before} = 3m \cdot v_1 + m \cdot 0 = 3m \cdot 0.4 = 1.2m \, \text{кг} \cdot \text{м/с} \]
После столкновения:
\[ p_{after} = 4m \cdot v_f \]
По закону сохранения импульса:
\[ p_{before} = p_{after} \implies 1.2m = 4m \cdot v_f \]
Упрощаем:
\[ 1.2 = 4v_f \implies v_f = \frac{1.2}{4} = 0.3 \, \text{м/с} \]
Так, скорость после столкновения составит 0.3 м/с.
Если у вас возникнут дополнительные вопросы или потребуется помощь с другими задачами, не стесняйтесь задавать!
