Площадь треугольника MNK составляет 49 корень из 2. Сторона MN в четыре раза длиннее, чем сторона MK. Какова длина MK, если угол M равен 45°?

Чтобы найти длину стороны MK треугольника MNK, воспользуемся формулой для вычисления площади треугольника через основание и высоту. Площадь треугольника можно также выразить через стороны и угол между ними.

Пусть длина стороны MK равна \(x\). Тогда длина стороны MN будет \(4x\) (поскольку MN в четыре раза длиннее MK). Угол M равен \(45^\circ\).

Формула для площади треугольника через две стороны и угол между ними выглядит следующим образом:

\[ S = \frac{1}{2} \cdot a \cdot b \cdot \sin(C) \]

где \(a\) и \(b\) - длины сторон, а \(C\) - угол между ними. Подставим известные значения в формулу:

\[ 49\sqrt{2} = \frac{1}{2} \cdot (4x) \cdot x \cdot \sin(45^\circ) \]

Значение \(\sin(45^\circ) = \frac{\sqrt{2}}{2}\), подставляем его:

\[ 49\sqrt{2} = \frac{1}{2} \cdot (4x) \cdot x \cdot \frac{\sqrt{2}}{2} \]

Упростим:

\[ 49\sqrt{2} = \frac{4x^2\sqrt{2}}{4} \]

Это сокращается до:

\[ 49\sqrt{2} = x^2\sqrt{2} \]

Теперь можно разделить обе стороны уравнения на \(\sqrt{2}\) (при условии, что \(\sqrt{2} \neq 0\)):

\[ 49 = x^2 \]

Теперь найдем \(x\):

\[ x = \sqrt{49} = 7 \]

Таким образом, длина стороны MK составляет 7 единиц.