Точка касания окружности вписанной в равнобокую трапецию делит её боковую сторону на отрезке, один из которых равен 5 см. Найдите основание трапеции, если её периметр равен 56 см

Для решения данной задачи будем использовать знания о свойствах вписанной окружности в трапеции и формула для периметра.

Обозначим:

• \( a \) — основание трапеции (большее);
• \( b \) — основание трапеции (меньшее);
• \( c \) — боковая сторона трапеции;
• \( P \) — периметр трапеции.

Поскольку трапеция равнобокая, боковые стороны равны, и обозначим их как \( c \).

Для трапеции с вписанной окружностью выполняется следующее равенство: \[ a + b = 2c. \]

Из условия задачи нам известно, что периметр трапеции равен 56 см. Периметр трапеции вычисляется по формуле: \[ P = a + b + 2c. \]

Подставляя известные значения: \[ 56 = a + b + 2c. \]

Также, согласно условию, один из отрезков, на который точка касания делит боковую сторону, равен 5 см. Пусть этот отрезок равен \( x = 5 \) см, тогда другой отрезок будет равен \( c - x = c - 5 \).

Используя свойства вписанной окружности, мы имеем: \[ a - b = 2x. \]

В нашем случае: \[ a - b = 2 \cdot 5 = 10. \]

Теперь у нас есть система уравнений:

1. \( a + b + 2c = 56 \)
2. \( a - b = 10 \)

Решим эту систему. Из второго уравнения выразим \( a \): \[ a = b + 10. \]

Теперь подставим это выражение в первое уравнение: \[ (b + 10) + b + 2c = 56. \] Упрощаем: \[ 2b + 10 + 2c = 56. \] \[ 2b + 2c = 56 - 10. \] \[ 2b + 2c = 46. \] Разделим всю систему на 2: \[ b + c = 23. \]

Теперь подставим \( c = 23 - b \) обратно в \( a + b = 2c \): \[ a + b = 2(23 - b) \quad \Rightarrow \quad a + b = 46 - 2b. \] Перемещаем \( 2b \) в левую часть: \[ a + 3b = 46. \]

Теперь у нас новые два уравнения:

1. \( b + c = 23 \)
2. \( a + 3b = 46 \)

Из первого уравнения выразим \( c \): \[ c = 23 - b. \]

Подставим значение \( c \) во второе уравнение: \[ a + 3b = 46. \] Подставляем \( c = 23 - b \) в тест на ответ:

1. Из \( b + c = 23 \) следует, что \( c = 23 - b \).

Объединив обе части, найдём значения и подставляем: Подставляя \( c \) и решая, мы находим, что одно из оснований \( a \) и \( b \) таковы: Если рассмотреть, что стороны равны, можно подставить концентрируемые величины оснований через разность: Итак: Находим: \[ a = 23 + 5 = 28 \text{см.} \quad и \quad b = 23 - 5 = 18 \text{см.}. \]

Следовательно, основание трапеции \( a \) равно 28 см.