Найдите сумму сорока первых членов последовательности (bn) за данной формулой bn=4n-2

Чтобы найти сумму первых сорока членов последовательности, заданной формулой \( b_n = 4n - 2 \), сначала определим, что \( b_1, b_2, b_3, \ldots, b_{40} \) — это значения последовательности для \( n = 1, 2, 3, \ldots, 40 \).

Нам нужно вычислить:

\[ S = b_1 + b_2 + b_3 + \ldots + b_{40} \]

Теперь подставим формулу для \( b_n \):

\[ S = (4 \cdot 1 - 2) + (4 \cdot 2 - 2) + (4 \cdot 3 - 2) + \ldots + (4 \cdot 40 - 2) \]

Это можно упростить:

\[ S = (4 \cdot 1 + 4 \cdot 2 + 4 \cdot 3 + \ldots + 4 \cdot 40) - (2 + 2 + \ldots + 2) \]

Заметим, что в первой части выражения можно вынести 4 за скобки:

\[ S = 4(1 + 2 + 3 + \ldots + 40) - 2 \cdot 40 \]

Сумма первых \( n \) натуральных чисел вычисляется по формуле \( \frac{n(n + 1)}{2} \). В нашем случае \( n = 40 \):

\[ 1 + 2 + 3 + \ldots + 40 = \frac{40 \cdot 41}{2} = 820 \]

Теперь подставим эту сумму обратно в выражение для \( S \):

\[ S = 4 \cdot 820 - 80 = 3280 - 80 = 3200 \]

Таким образом, сумма первых сорока членов последовательности равна \( S = 3200 \).