Найти наибольшее значение функции y=2x^3-6x^2+6x+4 на графике [-2;2]
Для нахождения наибольшего значения функции \( y = 2x^3 - 6x^2 + 6x + 4 \) на интервале \([-2; 2]\), нужно выполнить следующие шаги:
Найти производную функции: Начнем с вычисления производной, которая поможет нам определить критические точки.
\[ y' = \frac{d}{dx}(2x^3 - 6x^2 + 6x + 4) = 6x^2 - 12x + 6 \]
Найти критические точки: Установим производную равной нулю для нахождения критических точек:
\[ 6x^2 - 12x + 6 = 0 \]
Упрощаем уравнение, поделив на 6:
\[ x^2 - 2x + 1 = 0 \]
Это можно переписать как:
\[ (x - 1)^2 = 0 \]
Таким образом, у нас есть одна критическая точка \( x = 1 \).
Проверить значения функции на границах интервала и в критической точке: Теперь нам нужно найти значения функции в критической точке и на границах интервала \([-2, 2]\):
- В точке \( x = -2 \):
\[ y(-2) = 2(-2)^3 - 6(-2)^2 + 6(-2) + 4 = 2(-8) - 6(4) - 12 + 4 = -16 - 24 - 12 + 4 = -48 \]
- В точке \( x = 1 \):
\[ y(1) = 2(1)^3 - 6(1)^2 + 6(1) + 4 = 2 - 6 + 6 + 4 = 6 \]
- В точке \( x = 2 \):
\[ y(2) = 2(2)^3 - 6(2)^2 + 6(2) + 4 = 2(8) - 6(4) + 12 + 4 = 16 - 24 + 12 + 4 = 8 \]
Сравнить все значения: Теперь сравним найденные значения:
- \( y(-2) = -48 \)
- \( y(1) = 6 \)
- \( y(2) = 8 \)
Определить наибольшее значение: Наибольшее значение функции на интервале \([-2; 2]\) – это \( y(2) = 8 \).
Итак, наибольшее значение функции \( y = 2x^3 - 6x^2 + 6x + 4 \) на графике в пределах \([-2; 2]\) равно 8.
