Сколько существует пар натуральных чисел (x,y), таких, что 3x + 4y =100

Чтобы найти количество пар натуральных чисел \((x, y)\), удовлетворяющих уравнению \(3x + 4y = 100\), начнём с представления уравнения в более удобной форме.

1. Решим уравнение относительно \(y\): \[ 4y = 100 - 3x \] \[ y = \frac{100 - 3x}{4} \]

2. Отметим условия: Мы ищем натуральные числа \(x\) и \(y\), что означает, что они должны быть положительными. Следовательно, \(100 - 3x\) должно быть больше нуля, чтобы \(y\) тоже было положительным: \[ 100 - 3x > 0 \implies 3x < 100 \implies x < \frac{100}{3} \approx 33.33 \] Так как \(x\) — натуральное число, это значит, что \(x\) может принимать значения от \(1\) до \(33\).

3. Проверяем значения \(y\): Условие \(y\) должно быть натуральным, поэтому выражение \(100 - 3x\) должно делиться на \(4\) без остатка. Это означает, что \(100 - 3x \equiv 0 \mod{4}\).

   Найдем \(100 \mod 4\): \[ 100 \equiv 0 \mod{4} \] Из-за этого нужно, чтобы \(3x \equiv 0 \mod{4}\). Поскольку \(3 \equiv -1 \mod{4}\), мы можем переписать это как: \[ -x \equiv 0 \mod{4} \implies x \equiv 0 \mod{4} \] То есть \(x\) должно быть кратным \(4\).

4. Выбрать значения \(x\): Возможные значения для \(x\) в пределах от \(1\) до \(33\), кратные \(4\): \[ x = 4, 8, 12, 16, 20, 24, 28, 32 \]

   Всего таких значений \(8\) (4, 8, 12, 16, 20, 24, 28, 32).

5. Нахождение соответствующих \(y\): Для каждого из этих значений \(x\) мы можем вычислить \(y\):

   • \(x = 4\) \(\Rightarrow y = \frac{100 - 3 \cdot 4}{4} = \frac{88}{4} = 22\)
   • \(x = 8\) \(\Rightarrow y = \frac{100 - 3 \cdot 8}{4} = \frac{76}{4} = 19\)
   • \(x = 12\) \(\Rightarrow y = \frac{100 - 3 \cdot 12}{4} = \frac{64}{4} = 16\)
   • \(x = 16\) \(\Rightarrow y = \frac{100 - 3 \cdot 16}{4} = \frac{52}{4} = 13\)
   • \(x = 20\) \(\Rightarrow y = \frac{100 - 3 \cdot 20}{4} = \frac{40}{4} = 10\)
   • \(x = 24\) \(\Rightarrow y = \frac{100 - 3 \cdot 24}{4} = \frac{28}{4} = 7\)
   • \(x = 28\) \(\Rightarrow y = \frac{100 - 3 \cdot 28}{4} = \frac{16}{4} = 4\)
   • \(x = 32\) \(\Rightarrow y = \frac{100 - 3 \cdot 32}{4} = \frac{4}{4} = 1\)

Каждая из этих пар \((x, y)\) является решением, поэтому существует 8 пар натуральных чисел \((x, y)\), удовлетворяющих уравнению \(3x + 4y = 100\).