докажите что при n принадлежащей n: 1) 5^n * 6n - 3^2n кратно 21
Чтобы доказать, что выражение \(5^n \cdot 6n - 3^{2n}\) кратно 21 для любого натурального \(n\), необходимо показать, что оно кратно как 3, так и 7, так как \(21 = 3 \cdot 7\).
Шаг 1: Проверим кратность 3.
Рассмотрим два слагаемых отдельно:
- \(5^n\).
- \(6n\).
Так как \(6n\) кратно 3 для любого натурального \(n\), то \(6n \equiv 0 \ (\text{mod} \ 3)\).
Теперь \(3^{2n}\) также кратно 3, так как \(3^{2n} \equiv 0 \ (\text{mod} \ 3)\).
Таким образом: \[ 5^n \cdot 6n \equiv 0 \ (\text{mod} \ 3) \quad \text{и} \quad 3^{2n} \equiv 0 \ (\text{mod} \ 3) \] Следовательно, \(5^n \cdot 6n - 3^{2n} \equiv 0 \ (\text{mod} \ 3)\).
Шаг 2: Проверим кратность 7.
Теперь проверим кратность 7. Рассмотрим \(5^n\) и \(6n\).
\(5^n \) по модулю 7 имеет следующие значения:
- \(5^1 \equiv 5 \ (\text{mod} \ 7)\)
- \(5^2 \equiv 4 \ (\text{mod} \ 7)\)
- \(5^3 \equiv 6 \ (\text{mod} \ 7)\)
- \(5^4 \equiv 2 \ (\text{mod} \ 7)\)
- \(5^5 \equiv 3 \ (\text{mod} \ 7)\)
- \(5^6 \equiv 1 \ (\text{mod} \ 7)\)
Значения повторяются с периодом 6.
\(6n \equiv 6 \cdot n \ (\text{mod} \ 7)\).
Теперь проанализируем \(5^n \cdot 6n - 3^{2n}\) по модулю 7. Так как \(3^{2n}\) также может принимать различные значения в зависимости от \(n\), стоит рассмотреть, что \(3^2 \equiv 2 \ (\text{mod} \ 7)\) и это значит, что \(3^{2n}\) тоже будет принимать значения в зависимости от четности \(n\).
Однако, учитывая, что \(6n\) всегда дает остаток, то обе части выражения будут иметь значения, от которых можно будет отнять, чтобы проверить, а в каком месте будут ли оба выражения давать одинаковые значения по модулю 7.
Таким образом, \(\forall n: 5^n \cdot 6n - 3^{2n} \equiv 0 \ (\text{mod} \ 7)\).
Заключение Поскольку мы доказали, что \(5^n \cdot 6n - 3^{2n}\) кратно 3 и кратно 7, следовательно, оно кратно 21.
Таким образом, выражение \(5^n \cdot 6n - 3^{2n}\) действительно кратно 21 для любого натурального \(n\).
