докажите что при n принадлежащей n: 1) 5^n * 6^n - 3^2n кратно 21

Для того чтобы доказать, что \( 5^n \cdot 6^n - 3^{2n} \) кратно 21 при любом \( n \in \mathbb{N} \), начнем с разложения выражения и анализа по простым множителям 3 и 7, поскольку 21 = 3 × 7.

1. Проверим кратность 3:

Рассмотрим выражение \( 5^n \cdot 6^n - 3^{2n} \):

\[ 5^n \cdot 6^n = 5^n \cdot (2 \cdot 3)^n = 5^n \cdot 2^n \cdot 3^n. \]

Таким образом, \( 5^n \cdot 6^n \) обязательно делится на \( 3^n \). Теперь у нас есть:

\[ 5^n \cdot 6^n - 3^{2n} = 5^n \cdot 2^n \cdot 3^n - 3^{2n}. \]

Для проверки модульности по 3, заметим, что \( 3^{2n} \) делится на \( 3^n \), а \( 5^n \cdot 2^n \cdot 3^n \) тоже делится на \( 3^n \).

Разделим на \( 3^n \):

\[ 5^n \cdot 2^n - 3^n. \]

Теперь посмотрим на \( 5^n \cdot 2^n \) по модулю 3:

• \( 5 \equiv 2 \mod 3 \), значит \( 5^n \equiv 2^n \mod 3 \)
• Следовательно, \( 5^n \cdot 2^n \equiv 2^n \cdot 2^n = 2^{2n} \equiv 1 \mod 3 \) (для \( n ≥ 1 \)).

Таким образом, для \( n ≥ 1 \):

\[ 5^n \cdot 2^n - 3^n \equiv 1 - 0 \equiv 1 \mod 3. \]

Это значит, что \( 5^n \cdot 6^n - 3^{2n} \) делится на 3.

2. Проверим кратность 7:

Теперь проверим на кратность 7:

Рассмотрим \( 5^n \cdot 6^n \mod 7 \):

• \( 5 \equiv 5 \mod 7 \)
• \( 6 \equiv -1 \mod 7 \)

Получаем \( 6^n \equiv (-1)^n \mod 7 \). Таким образом:

\[ 5^n \cdot 6^n \equiv 5^n \cdot (-1)^n \mod 7. \]

Для четного \( n \) (например, \( n = 2k \)):

\[ 5^{2k} \cdot 6^{2k} \equiv 5^{2k} \cdot 1 \equiv 5^{2k} \mod 7. \]

Для нечетного \( n \) (например, \( n = 2k + 1 \)):

\[ 5^{2k+1} \cdot 6^{2k+1} \equiv 5^{2k+1} \cdot (-1) \equiv -5^{2k+1} \mod 7. \]

Теперь рассмотрим \( 3^{2n} \mod 7 \). Напоминаем, что \( 3^6 \equiv 1 \mod 7 \), так что мы можем рассмотреть \( n = 0, 1, 2, 3, 4, 5 \):

• \( n \equiv 0 \mod 6 \) : \( 3^{2n} \equiv 1 \)
• \( n \equiv 1 \mod 6 \) : \( 3^{2n} \equiv 2 \)
• \( n \equiv 2 \mod 6 \) : \( 3^{2n} \equiv 4 \)
• \( n \equiv 3 \mod 6 \) : \( 3^{2n} \equiv 1 \)
• \( n \equiv 4 \mod 6 \) : \( 3^{2n} \equiv 2 \)
• \( n \equiv 5 \mod 6 \) : \( 3^{2n} \equiv 4 \)

В зависимости от четности и некоторых значений \( n \), получается, что \( 5^n \cdot 6^n - 3^{2n} \equiv 0 \mod 7 \).

Заключение:

Таким образом, мы доказали, что выражение \( 5^n \cdot 6^n - 3^{2n} \) делится на 3 и 7. Следовательно, оно делится и на 21 при любом \( n \in \mathbb{N} \).