Дана прямоугольная трапеция, меньшее основание которой равно 6 см. Меньшая боковая сторона равна 10 см, а большая боковая сторона образует с основанием угол 45°. Найди площадь трапеции. Ответ: площадь трапеции равна

Для нахождения площади данной прямоугольной трапеции, начнем с того, что нам известны:

• меньшее основание \( a = 6 \, \text{см} \),
• меньшая боковая сторона \( b_1 = 10 \, \text{см} \),
• угол между большой боковой стороной и основанием \( \alpha = 45^\circ \).

1. Находим высоту \( h \) трапеции:

   Так как у нас есть угол 45°, высота трапеции равна длине большой боковой стороны, проецируемой на вертикаль. Известно, что: \[ h = b_1 \cdot \sin(\alpha) = 10 \cdot \sin(45^\circ) = 10 \cdot \frac{\sqrt{2}}{2} = 5\sqrt{2} \, \text{см}. \]

2. Находим длину большего основания \( b \):

   Из прямоугольного треугольника, образованного высотой и длиной большей боковой стороны, мы можем воспользоваться соотношением: \[ b = a + 2 \cdot (b_1 \cdot \cos(\alpha)). \] Разделим выражение на части: \[ b_1 \cdot \cos(45^\circ) = 10 \cdot \frac{\sqrt{2}}{2} = 5\sqrt{2}. \] Тогда: \[ b = 6 + 2 \cdot 5\sqrt{2} = 6 + 10\sqrt{2} \, \text{см}. \]

3. Находим площадь \( S \) трапеции:

   Площадь трапеции вычисляется по формуле: \[ S = \frac{(a + b) \cdot h}{2}. \] Подставим значения: \[ S = \frac{(6 + (6 + 10\sqrt{2})) \cdot (5\sqrt{2})}{2} = \frac{(12 + 10\sqrt{2}) \cdot (5\sqrt{2})}{2}. \] Упрощаем: \[ S = \frac{60\sqrt{2} + 100}{2} = 30\sqrt{2} + 50. \]

Таким образом, площадь трапеции равна \( 30\sqrt{2} + 50 \, \text{см}^2 \).