Дано: ∆ABC-равнобедренный P (ABC) = 48 см, AB = 15 см Найти основание ∆ABC

Чтобы найти основание равнобедренного треугольника \( \Delta ABC \) с заданной площадью и длиной боковых сторон, мы можем использовать формулу для вычисления площади треугольника.

Площадь треугольника можно выразить через его основание \( AC = x \) и высоту \( h \) с помощью формулы:

\[ P(ABC) = \frac{1}{2} \cdot основание \cdot высота \]

В данном случае, площадь \( P(ABC) = 48 \, \text{см}^2 \) и длина боковых сторон \( AB = AC = 15 \, \text{см} \).

Также, в равнобедренном треугольнике высота, проведенная из вершины \( B \) на основание \( AC \), делит его пополам. Обозначим точку пересечения высоты с основанием как \( D \). Тогда \( AD = DC = \frac{x}{2} \).

Теперь мы можем применить теорему Пифагора в треугольнике \( ABD \):

\[ AB^2 = AD^2 + BD^2 \]

где \( BD = h \) (высота), а \( AD = \frac{x}{2} \).

Подставим известные значения:

\[ 15^2 = \left( \frac{x}{2} \right)^2 + h^2 \]

Теперь точно выразим высоту через основание. Поскольку площадь тоже равна \( 48 \, \text{см}^2 \):

\[ 48 = \frac{1}{2} \cdot x \cdot h \]

Отсюда мы можем выразить высоту \( h \):

\[ h = \frac{96}{x} \]

Теперь подставим это значение высоты в уравнение Пифагора:

\[ 15^2 = \left( \frac{x}{2} \right)^2 + \left( \frac{96}{x} \right)^2 \]

Решим уравнение:

\[ 225 = \frac{x^2}{4} + \frac{9216}{x^2} \]

Умножим на \( 4x^2 \) для избавления от дробей:

\[ 900x^2 = x^4 + 36864 \]

Перепишем уравнение в стандартной форме:

\[ x^4 - 900x^2 + 36864 = 0 \]

Обозначим \( y = x^2 \):

\[ y^2 - 900y + 36864 = 0 \]

Теперь решим это квадратное уравнение с помощью дискриминанта:

\[ D = 900^2 - 4 \cdot 1 \cdot 36864 = 810000 - 147456 = 662544 \]

Теперь найдем корни:

\[ y = \frac{900 \pm \sqrt{662544}}{2} \]

Сначала расчет корня:

\[ \sqrt{662544} \approx 814.03 \]

Теперь подставим:

\[ y_1 = \frac{900 + 814.03}{2}, \quad y_2 = \frac{900 - 814.03}{2} \]

Находим:

\[ y_1 \approx 857.015, \quad y_2 \approx 42.985 \]

Так как \( y = x^2 \):

\[ x_1 \approx \sqrt{857.015} \approx 29.28, \quad x_2 \approx \sqrt{42.985} \approx 6.56 \]

Поскольку \( x \) — это основание, мы выбираем положительное значение:

В итоге, основание \( AC \approx 29.28 \, \text{см} \).

Таким образом, основание треугольника \( \Delta ABC \) составляет примерно \( 29.3 \, \text{см} \).