Решите уравнение x2+y2−2x+6y=0 в целых числах. В ответе укажите наибольшее значение выражения x−3y.

Question 1

Задача Задача №2396853

А

Аноним

02 декабря 2024 16:44 · публичный вопрос

А

Аноним 02 декабря 2024 16:44

Решите уравнение x2+y2−2x+6y=0 в целых числах. В ответе укажите наибольшее значение выражения x−3y.

Answer

Для начала, давайте преобразуем данное уравнение \( x^2 + y^2 - 2x + 6y = 0 \).

Сначала упорядочим его, сгруппировав слагаемые:

\[ x^2 - 2x + y^2 + 6y = 0. \]

Теперь мы можем привести каждую из переменных к квадрату, используя метод выделения полного квадрата.

Для выражения \( x^2 - 2x \): \[ x^2 - 2x = (x - 1)^2 - 1. \]
Для выражения \( y^2 + 6y \): \[ y^2 + 6y = (y + 3)^2 - 9. \]

Теперь подставим наши преобразования обратно в уравнение:

\[ (x - 1)^2 - 1 + (y + 3)^2 - 9 = 0. \]

Соберем константы: \[ (x - 1)^2 + (y + 3)^2 - 10 = 0. \]

Это уравнение можно переписать как: \[ (x - 1)^2 + (y + 3)^2 = 10. \]

Теперь это уравнение представляет собой окружность с центром в точке \( (1, -3) \) и радиусом \( \sqrt{10} \).

Мы ищем целые числа \( x \) и \( y \), которые удовлетворяют этому уравнению. Для начала определим возможные пары \( (x - 1, y + 3) \), которые дают сумму квадратов равной 10:

Все возможные решения для:

\( (x - 1)^2 = 0, (y + 3)^2 = 10 \) ⇒ \( (0, \pm \sqrt{10}) \) — нет целых решений.
\( (x - 1)^2 = 1, (y + 3)^2 = 9 \) ⇒ \( (1, \pm 3) \) ⇒ \( x - 1 = 1 \) (то есть \( x = 2 \)), \( y + 3 = 3 \) (то есть \( y = 0 \)) и \( y + 3 = -3 \) (то есть \( y = -6 \)) ⇒ решения \( (2, 0) \) и \( (2, -6) \).
\( (x - 1)^2 = 4, (y + 3)^2 = 6 \) — нет целых решений.
\( (x - 1)^2 = 9, (y + 3)^2 = 1 \) ⇒ \( (3, \pm 1) \) ⇒ \( x - 1 = 3 \) (то есть \( x = 4 \)), \( y + 3 = 1 \) (то есть \( y = -2 \)) и \( y + 3 = -1 \) (то есть \( y = -4 \)) ⇒ решения \( (4, -2) \) и \( (4, -4) \).

Теперь у нас есть целые числа:

\( (2, 0) \)
\( (2, -6) \)
\( (4, -2) \)
\( (4, -4) \)

Теперь найдем значение выражения \( x - 3y \) для каждой из этих пар.

Для \( (2, 0) \): \[ x - 3y = 2 - 3 \cdot 0 = 2. \]
Для \( (2, -6) \): \[ x - 3y = 2 - 3 \cdot (-6) = 2 + 18 = 20. \]
Для \( (4, -2) \): \[ x - 3y = 4 - 3 \cdot (-2) = 4 + 6 = 10. \]
Для \( (4, -4) \): \[ x - 3y = 4 - 3 \cdot (-4) = 4 + 12 = 16. \]

Теперь выберем наибольшее значение из \( 2, 20, 10, 16 \). Наибольшее значение — это \( 20 \).

Таким образом, наибольшее значение выражения \( x - 3y \) равно \( 20 \).

Question 2

Решите уравнение x2+y2−2x+6y=0 в целых числах. В ответе укажите наибольшее значение выражения x−3y.

Answer

Для начала, давайте преобразуем данное уравнение \( x^2 + y^2 - 2x + 6y = 0 \). Сначала упорядочим его, сгруппировав слагаемые: \[ x^2 - 2x + y^2 + 6y = 0. \] Теперь мы можем привести каждую из переменных к квадрату, используя метод выделения полного квадрата. 1. Для выражения \( x^2 - 2x \): \[ x^2 - 2x = (x - 1)^2 - 1. \] 2. Для выражения \( y^2 + 6y \): \[ y^2 + 6y = (y + 3)^2 - 9. \] Теперь подставим наши преобразования обратно в уравнение: \[ (x - 1)^2 - 1 + (y + 3)^2 - 9 = 0. \] Соберем константы: \[ (x - 1)^2 + (y + 3)^2 - 10 = 0. \] Это уравнение можно переписать как: \[ (x - 1)^2 + (y + 3)^2 = 10. \] Теперь это уравнение представляет собой окружность с центром в точке \( (1, -3) \) и радиусом \( \sqrt{10} \). Мы ищем целые числа \( x \) и \( y \), которые удовлетворяют этому уравнению. Для начала определим возможные пары \( (x - 1, y + 3) \), которые дают сумму квадратов равной 10: Все возможные решения для: - \( (x - 1)^2 = 0, (y + 3)^2 = 10 \) ⇒ \( (0, \pm \sqrt{10}) \) — нет целых решений. - \( (x - 1)^2 = 1, (y + 3)^2 = 9 \) ⇒ \( (1, \pm 3) \) ⇒ \( x - 1 = 1 \) (то есть \( x = 2 \)), \( y + 3 = 3 \) (то есть \( y = 0 \)) и \( y + 3 = -3 \) (то есть \( y = -6 \)) ⇒ решения \( (2, 0) \) и \( (2, -6) \). - \( (x - 1)^2 = 4, (y + 3)^2 = 6 \) — нет целых решений. - \( (x - 1)^2 = 9, (y + 3)^2 = 1 \) ⇒ \( (3, \pm 1) \) ⇒ \( x - 1 = 3 \) (то есть \( x = 4 \)), \( y + 3 = 1 \) (то есть \( y = -2 \)) и \( y + 3 = -1 \) (то есть \( y = -4 \)) ⇒ решения \( (4, -2) \) и \( (4, -4) \). Теперь у нас есть целые числа: - \( (2, 0) \) - \( (2, -6) \) - \( (4, -2) \) - \( (4, -4) \) Теперь найдем значение выражения \( x - 3y \) для каждой из этих пар. 1. Для \( (2, 0) \): \[ x - 3y = 2 - 3 \cdot 0 = 2. \] 2. Для \( (2, -6) \): \[ x - 3y = 2 - 3 \cdot (-6) = 2 + 18 = 20. \] 3. Для \( (4, -2) \): \[ x - 3y = 4 - 3 \cdot (-2) = 4 + 6 = 10. \] 4. Для \( (4, -4) \): \[ x - 3y = 4 - 3 \cdot (-4) = 4 + 12 = 16. \] Теперь выберем наибольшее значение из \( 2, 20, 10, 16 \). Наибольшее значение — это \( 20 \). Таким образом, наибольшее значение выражения \( x - 3y \) равно \( 20 \).