Решите уравнение x2+y2−2x+6y=0 в целых числах. В ответе укажите наибольшее значение выражения x−3y.

Решим уравнение \(x^2 + y^2 - 2x + 6y = 0\). Сначала преобразуем его, чтобы выделить полные квадраты.

1. Перепишем уравнение в более удобной форме: \[ x^2 - 2x + y^2 + 6y = 0 \]

2. Теперь выделим полный квадрат для \(x\) и для \(y\).

   Для \(x\): \[ x^2 - 2x = (x - 1)^2 - 1 \]

   Для \(y\): \[ y^2 + 6y = (y + 3)^2 - 9 \]

Подставим это в уравнение: \[ (x - 1)^2 - 1 + (y + 3)^2 - 9 = 0 \] Упрощаем: \[ (x - 1)^2 + (y + 3)^2 - 10 = 0 \] Таким образом, получаем: \[ (x - 1)^2 + (y + 3)^2 = 10 \]

Это уравнение описывает круг с центром в точке \((1, -3)\) и радиусом \(\sqrt{10}\).

Теперь найдем целочисленные решения этого уравнения. Поскольку \(10\) является квадратом \(1\) и \(3\), рассмотрим возможные пары целых чисел, у которых сумма квадратов равна \(10\):

1. \( (3, 1) \)
2. \( (1, 3) \)
3. \( (0, \pm 3) \)
4. \( (\pm 3, 0) \)
5. \( (±1, ±3) \) и все возможные перестановки знаков.

Теперь преобразуем каждую из этих пар согласно уравнению, чтобы найти \( (x, y) \):

1. Если \((x - 1, y + 3) = (3, 1)\), то: \(x - 1 = 3 \Rightarrow x = 4\) и \(y + 3 = 1 \Rightarrow y = -2\) → точка \((4, -2)\)

2. \((x - 1, y + 3) = (1, 3)\): \(x - 1 = 1 \Rightarrow x = 2\) и \(y + 3 = 3 \Rightarrow y = 0\) → точка \((2, 0)\)

3. \((x - 1, y + 3) = (0, 3)\): \(x - 1 = 0 \Rightarrow x = 1\) и \(y + 3 = 3 \Rightarrow y = 0\) → точка \((1, 0)\)

4. \((x - 1, y + 3) = (3, -3)\): \(x - 1 = 3 \Rightarrow x = 4\) и \(y + 3 = -3 \Rightarrow y = -6\) → точка \((4, -6)\)

5. \((x - 1, y + 3) = (-3, -1)\): \(x - 1 = -3 \Rightarrow x = -2\) и \(y + 3 = -1 \Rightarrow y = -4\) → точка \((-2, -4)\)

6. \((x - 1, y + 3) = (-1, -3)\): \(x - 1 = -1 \Rightarrow x = 0\) и \(y + 3 = -3 \Rightarrow y = -6\) → точка \((0, -6)\)

Теперь мы можем определить все целочисленные решения уравнения. Перечислим найденные решения:

• \((4, -2)\)
• \((2, 0)\)
• \((1, 0)\)
• \((4, -6)\)
• \((-2, -4)\)
• \((0, -6)\)

Теперь найдем значение выражения \(x - 3y\) для каждого из решений:

1. Для \((4, -2)\): \[ x - 3y = 4 - 3(-2) = 4 + 6 = 10 \]

2. Для \((2, 0)\): \[ x - 3y = 2 - 3(0) = 2 \]

3. Для \((1, 0)\): \[ x - 3y = 1 - 3(0) = 1 \]

4. Для \((4, -6)\): \[ x - 3y = 4 - 3(-6) = 4 + 18 = 22 \]

5. Для \((-2, -4)\): \[ x - 3y = -2 - 3(-4) = -2 + 12 = 10 \]

6. Для \((0, -6)\): \[ x - 3y = 0 - 3(-6) = 0 + 18 = 18 \]

Теперь найдем наибольшее значение \(x - 3y\):

• \(10, 2, 1, 22, 10, 18\)

Наибольшее значение достигается в точке \((4, -6)\) и равно \(22\).

Итак, наибольшее значение выражения \(x - 3y\) равно \(22\).