(x-2)(x+1)/x-4<0

Чтобы решить неравенство \(\frac{(x-2)(x+1)}{x-4} < 0\), давайте пошагово рассмотрим его.

1. Найдём нули числителя и знаменателя.

   • Числитель равен нулю, когда \((x-2)(x+1) = 0\). Это происходит при \(x = 2\) и \(x = -1\).
   • Знаменатель равен нулю, когда \(x - 4 = 0\), что даёт \(x = 4\).

2. Определим критические точки.

   • Критическими точками являются \(x = -1\), \(x = 2\) и \(x = 4\). Эти точки разбивают числовую прямую на интервалы.

3. Проверим знаки на каждом из интервалов:

   • Мы имеем следующие интервалы: \((-\infty, -1)\), \((-1, 2)\), \((2, 4)\) и \((4, +\infty)\).

   • Интервал \((-\infty, -1)\): Выберем, например, \(x = -2\): \[ \frac{(-2-2)(-2+1)}{-2-4} = \frac{(-4)(-1)}{-6} = \frac{4}{-6} < 0 \quad \text{(отрицательный)} \]

   • Интервал \((-1, 2)\): Выберем \(x = 0\): \[ \frac{(0-2)(0+1)}{0-4} = \frac{(-2)(1)}{-4} = \frac{-2}{-4} > 0 \quad \text{(положительный)} \]

   • Интервал \((2, 4)\): Выберем \(x = 3\): \[ \frac{(3-2)(3+1)}{3-4} = \frac{(1)(4)}{-1} = \frac{4}{-1} < 0 \quad \text{(отрицательный)} \]

   • Интервал \((4, +\infty)\): Выберем \(x = 5\): \[ \frac{(5-2)(5+1)}{5-4} = \frac{(3)(6)}{1} = 18 > 0 \quad \text{(положительный)} \]

4. Соберём результаты знаков:

   • \((-\infty, -1)\): отрицательный
   • \((-1, 2)\): положительный
   • \((2, 4)\): отрицательный
   • \((4, +\infty)\): положительный

5. Найдем, где выражение меньше нуля:

   • Это происходит на интервалах \((-\infty, -1)\) и \((2, 4)\).

6. Итоговый ответ: \[ x \in (-\infty, -1) \cup (2, 4) \]

Таким образом, решение неравенства \(\frac{(x-2)(x+1)}{x-4} < 0\) состоит из двух интервалов: \((-∞, -1)\) и \((2, 4)\).