(№ 5988) (А. Богданов) Логическая функция F задаётся выражением w ∧ ((z ∨ y) ≡ (z ∧ x)). На рисунке приведён частично заполненный фрагмент таблицы истинности функции F, содержащий неповторяющиеся строки. Определите, какому столбцу таблицы истинности функции F соответствует каждая из переменных x, y, z, w. В ответе напишите буквы x, y, z, w в том порядке, в котором идут соответствующие им столбцы. Буквы в ответе пишите подряд, никаких разделителей между буквами ставить не нужно.
Чтобы определить, какому столбцу таблицы истинности функции F соответствует каждая переменная \( x, y, z, w \), сначала разберём выражение функции:
\( F = w \land ((z \lor y) \equiv (z \land x)) \)
Разбор операции "¬": сначала необходимо понять, как работает операция эквивалентности \( (A \equiv B) \). Она истинна, если оба выражения \( A \) и \( B \) имеют одинаковое значение (либо оба истинны, либо оба ложны).
Переменные в выражении:
- \( w \) - конъюнкция выполняется с внешним переменным \( w \).
- \( z \lor y \) - истинно, если хотя бы одна из переменных \( z \) или \( y \) истинна.
- \( z \land x \) - истинно, если обе переменные \( z \) и \( x \) истинны.
Теперь необходимо построить таблицу истинности для всех переменных \( x, y, z, w \). Для этого рассмотрим все возможные комбинации значений \( 0 \) (ложь) и \( 1 \) (истина) для \( x, y, z, w \).
- Составление таблицы истинности:
Через логические операции мы будем заполнять таблицу:
| x | y | z | w | z ∨ y | z ∧ x | (z ∨ y) ≡ (z ∧ x) | F = w ∧ ((z ∨ y) ≡ (z ∧ x)) |
|---|---|---|---|---|---|---|---|
| 0 | 0 | 0 | 0 | 0 | 0 | 1 | 0 |
| 0 | 0 | 0 | 1 | 0 | 0 | 1 | 1 |
| 0 | 0 | 1 | 0 | 1 | 0 | 0 | 0 |
| 0 | 0 | 1 | 1 | 1 | 0 | 0 | 1 |
| 0 | 1 | 0 | 0 | 1 | 0 | 0 | 0 |
| 0 | 1 | 0 | 1 | 1 | 0 | 0 | 1 |
| 0 | 1 | 1 | 0 | 1 | 0 | 0 | 0 |
| 0 | 1 | 1 | 1 | 1 | 0 | 0 | 1 |
| 1 | 0 | 0 | 0 | 0 | 0 | 1 | 0 |
| 1 | 0 | 0 | 1 | 0 | 0 | 1 | 1 |
| 1 | 0 | 1 | 0 | 1 | 1 | 1 | 0 |
| 1 | 0 | 1 | 1 | 1 | 1 | 1 | 1 |
| 1 | 1 | 0 | 0 | 1 | 0 | 0 | 0 |
| 1 | 1 | 0 | 1 | 1 | 0 | 0 | 1 |
| 1 | 1 | 1 | 0 | 1 | 1 | 1 | 0 |
| 1 | 1 | 1 | 1 | 1 | 1 | 1 | 1 |
- Поиск соответствий переменных: В результате анализа таблицы истинности, можно определить, какие значения принимает каждая переменная, основываясь на значениях, имеющих линии.
Теперь соотнесем переменные \( x, y, z, w \) с соответствующими строками в таблице. Приведенное выше соответствие подразумевает, что:
- x соответствует первому столбцу: 1 (и если закодировать 0/1 в логической функции истинности, x - это результат)
- y второму столбцу
- z третьему
- w четвертому
Таким образом, ответы переменных будут: xyzw.
