Решите уравнение x²+ y² - 2х + 6y = 0 в целых числах. В ответе укажите наибольшее значение выражениях x-Зу.

Чтобы решить уравнение \( x^2 + y^2 - 2x + 6y = 0 \) в целых числах, начнем с его преобразования. Перепишем уравнение в более удобном виде, сгруппировав квадраты:

1. Для \( x \): \[ x^2 - 2x = (x - 1)^2 - 1 \]

2. Для \( y \): \[ y^2 + 6y = (y + 3)^2 - 9 \]

Теперь подставим эти преобразования в оригинальное уравнение: \[ (x - 1)^2 - 1 + (y + 3)^2 - 9 = 0 \] Упрощаем это уравнение: \[ (x - 1)^2 + (y + 3)^2 - 10 = 0 \] или \[ (x - 1)^2 + (y + 3)^2 = 10 \]

Теперь это уравнение представляет собой окружность с центром в точке \( (1, -3) \) и радиусом \( \sqrt{10} \). Мы ищем целочисленные решения, то есть \( (x, y) \), которые удовлетворяют этому уравнению.

Рассмотрим возможные целые решения:

• \( (x - 1)^2 + (y + 3)^2 = 10 \) имеет целые решения, если разность двух квадратов равна 10.

Нахождение целых решений:

• Возможные пары \( (x - 1, y + 3) \):
  • \( (3, 1) \)
  • \( (1, 3) \)
  • \( (-3, -1) \)
  • \( (-1, -3) \)
  • \( (0, \pm 3) \)
  • \( \pm (1, 3) \)

Теперь найдем соответствующие значения \( x \) и \( y \):

1. \( (x - 1, y + 3) = (3, 1) \) даёт \( x = 4, y = -2 \)
2. \( (x - 1, y + 3) = (1, 3) \) даёт \( x = 2, y = 0 \)
3. \( (x - 1, y + 3) = (-3, -1) \) даёт \( x = -2, y = -4 \)
4. \( (x - 1, y + 3) = (-1, -3) \) даёт \( x = 0, y = -6 \)

Теперь можем найти значение \( x - 3y \) для каждого из найденных решений:

1. Для \( (4, -2) \): \( 4 - 3(-2) = 4 + 6 = 10 \)
2. Для \( (2, 0) \): \( 2 - 3(0) = 2 \)
3. Для \( (-2, -4) \): \( -2 - 3(-4) = -2 + 12 = 10 \)
4. Для \( (0, -6) \): \( 0 - 3(-6) = 0 + 18 = 18 \)

Таким образом, максимальное значение выражения \( x - 3y \) равно \( 18 \).