Решите неравенство 4/x ≤ 4 - х. В ответ запишите сумму целых решений неравенства, принадлежащих промежутку [-6; 6].

Для решения неравенства \( \frac{4}{x} \leq 4 - x \), начнем с преобразования его в более удобную форму.

1. Умножим обе части неравенства на \( x \) (при условии, что \( x > 0 \), так как при \( x < 0 \) знак неравенства изменится):

   \[ 4 \leq 4x - x^2 \]

   Перепишем это неравенство:

   \[ x^2 - 4x + 4 \geq 0 \]

   Заметим, что это является квадратным неравенством. Давайте его упростим:

   \[ (x - 2)^2 \geq 0 \]

   Это неравенство истинно для всех \( x \), так как квадрат любого числа неотрицателен. Однако, поскольку мы умножали на \( x \), необходимо учитывать, что \( x \) не может равняться нолю:

   • Для \( x > 0 \): неравенство верно для всех \( x \).
   • Для \( x < 0 \): неравенство изменяет знак, поэтому мы исследуем его при отрицательных \( x \).

2. Теперь рассмотрим случай, когда \( x < 0 \). Перепишем исходное неравенство:

   \[ \frac{4}{x} \leq 4 - x \]

   Умножаем обе части на \( x \) (помня об изменении знака):

   \[ 4 \geq 4x - x^2 \]

   Или, упростив:

   \[ x^2 - 4x + 4 \leq 0 \quad \text{(применяем те же преобразования)} \]

   В этом случае при \( (x - 2)^2 \leq 0 \) соблюдается только при \( x = 2 \).

Однако \( x = 2 \) не входит в отрицательную область. Значит, для \( x < 0 \) пересечение не будет иметь решений.

3. Объединим информацию:

   Итак, решение нашего неравенства: \( x \in (-\infty, 0) \) и \( x > 0 \) (все действительные числа, кроме 0). Важный аспект, который мы должны учесть — это те целые значения \( x \), которые находятся в промежутке \([-6; 6]\).

Целые числа в интервале \([-6; 6]\) – это: -6, -5, -4, -3, -2, -1, 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6.

Но \( x \neq 0\). Следовательно, целые решения, которые удовлетворяют нашему неравенству:

-6, -5, -4, -3, -2, -1, 1, 2, 3, 4, 5, 6.

4. Теперь найдем сумму целых решений:

Сумма целых решений:

\[ \text{Сумма} = (-6) + (-5) + (-4) + (-3) + (-2) + (-1) + 1 + 2 + 3 + 4 + 5 + 6 \]

Группируем по парам:

Сумма = \( (-6+6) + (-5+5) + (-4+4) + (-3+3) + (-2+2) + (-1+1) = 0 \).

Таким образом, итоговая сумма всех целых решений неравенства в указанном промежутке равна 0.