Вычислите объём тела оброзованное вращением вокруг оси Ox фигуры ограниченной указыными линиями y=-x ^2+2x , y=0, x=1, x=2
Для нахождения объёма тела, образованного вращением фигуры вокруг оси Ox, используем метод дисков (или цилиндров). Дана функция \( y = -x^2 + 2x \) (квадратичная парабола), ограниченная линиями \( y = 0 \) и вертикальными линиями \( x = 1 \) и \( x = 2 \).
Определим объём. Формула для расчета объёма V при вращении области вокруг оси Ox задаётся интегралом:
\[ V = \pi \int_{a}^{b} [f(x)]^2 \, dx \]
где \( f(x) = -x^2 + 2x \) - это функция, а \( a \) и \( b \) - пределы интегрирования, которые в нашем случае равны 1 и 2.
Подставим функцию. Нам необходимо возвести \( f(x) \) в квадрат:
\[ f(x)^2 = (-x^2 + 2x)^2 = (x^2 - 2x)^2 = x^4 - 4x^3 + 4x^2. \]
Запишем интеграл:
\[ V = \pi \int_{1}^{2} (x^4 - 4x^3 + 4x^2) \, dx. \]
Вычисlim интеграл. Разделим интеграл на части:
\[ V = \pi \left[ \frac{x^5}{5} - x^4 + \frac{4x^3}{3} \right]_{1}^{2}. \]
Подсчитаем это выражение для пределов:
При \( x = 2 \):
\[ \frac{2^5}{5} - 2^4 + \frac{4 \cdot 2^3}{3} = \frac{32}{5} - 16 + \frac{32}{3}. \]
Приведем к общему знаменателю (15):
\[ \frac{32}{5} = \frac{96}{15}, \quad -16 = -\frac{240}{15}, \quad \frac{32}{3} = \frac{160}{15}. \]
Итак, суммируя:
\[ \frac{96 - 240 + 160}{15} = \frac{16}{15}. \]
При \( x = 1 \):
\[ \frac{1^5}{5} - 1^4 + \frac{4 \cdot 1^3}{3} = \frac{1}{5} - 1 + \frac{4}{3}. \]
Приведем к общему знаменателю (15):
\[ \frac{1}{5} = \frac{3}{15}, \quad -1 = -\frac{15}{15}, \quad \frac{4}{3} = \frac{20}{15}. \]
Суммируя:
\[ \frac{3 - 15 + 20}{15} = \frac{8}{15}. \]
Подставим пределы интегрирования:
\[ V = \pi \left( \frac{16}{15} - \frac{8}{15} \right) = \pi \cdot \frac{8}{15} = \frac{8\pi}{15}. \]
Таким образом, объём тела, образованного вращением фигуры вокруг оси Ox, равен \( \frac{8\pi}{15} \) кубических единиц.
