Петя на листке в тетради отметил несколько точек, причём, любые три точки не лежат на одной прямой. Затем каждые две точки соединил отрезками и посчитал количество полученных…
Петя на листке в тетради отметил несколько точек, причём, любые три точки не лежат на одной прямой. Затем каждые две точки соединил отрезками и посчитал количество полученных отрезков. Оказалось, что количество отрезков в 9 раз больше числа точек. Сколько точек отметил Петя?
Пусть \( n \) — количество точек, которые отметил Петя. Количество отрезков, соединяющих любые две точки, можно вычислить по формуле: \[ C(n, 2) = \frac{n(n-1)}{2} \] где \( C(n, 2) \) — это число сочетаний \( n \) по \( 2 \).
По условию задачи, количество отрезков в 9 раз больше числа точек, то есть: \[ \frac{n(n-1)}{2} = 9n. \]
Умножим обе стороны уравнения на 2, чтобы избавиться от дроби: \[ n(n-1) = 18n. \]
Переносим все на одну сторону: \[ n(n-1) - 18n = 0, \] что можно записать как: \[ n^2 - 19n = 0. \]
Теперь вынесем \( n \) за скобки: \[ n(n - 19) = 0. \]
Это уравнение имеет два корня: \[ n = 0 \quad \text{или} \quad n = 19. \]
Поскольку количество точек не может быть нулём, получаем, что: \[ n = 19. \]
Итак, Петя отметил 19 точек.
