1. Найти стационарные точки Функции / (*) = **- 2х* + x+8. 2. Найти экстремумы функции: 1) /(x) =x-2x+x+3; 2) f (x)- e* (2x -8). 3. Найти интервалы возрастения и убывания функции. f (x) -23- 23-2x+x+3. 4. IOCTPORTI PpADHK DyEKIIEH / (x) - فيو - 2xي3 + +8 H8 orpes ке [- 1; 2J• 5. Найти наибольшее и наименьшее значения фухици 1(x) = x° - 2х° + x + 8 на отрезке 0; • ٠[%

Question 1

Задача Задача №2397400

А

Аноним

02 декабря 2024 17:24 · публичный вопрос

А

Аноним 02 декабря 2024 17:24

1. Найти стационарные точки Функции / (*) = **- 2х* + x+8. 2. Найти экстремумы функции: 1) /(x) =x-2x+x+3; 2) f (x)- e* (2x -8). 3. Найти интервалы возрастения и убывания функции. f (x) -23- 23-2x+x+3. 4. IOCTPORTI PpADHK DyEKIIEH / (x) - فيو - 2xي3 + +8 H8 orpes ке [- 1; 2J• 5. Найти наибольшее и наименьшее значения фухици 1(x) = x° - 2х° + x + 8 на отрезке 0; • ٠[%

Answer

Для выполнения ваших задач, мы должны сначала разобраться с каждым из пунктов.

1. Стационарные точки функции \( f(x) = -2x^2 + x + 8 \)

Сначала найдем производную функции и приравняем её к нулю:

\[ f'(x) = -4x + 1 \] Приравняем производную к нулю:

\[ -4x + 1 = 0 \implies x = \frac{1}{4} \]

Стационарная точка: \( x = \frac{1}{4} \).

2. Найти экстремумы функции:

1) \( f(x) = x^3 - 2x^2 + x + 3 \)

Найдем производную:

\[ f'(x) = 3x^2 - 4x + 1 \]

Для нахождения экстремумов найдем корни уравнения \( f'(x) = 0 \):

\[ 3x^2 - 4x + 1 = 0 \]

Используем дискриминант:

\[ D = (-4)^2 - 4 \cdot 3 \cdot 1 = 16 - 12 = 4 \] \[ x_{1,2} = \frac{4 \pm \sqrt{4}}{2 \cdot 3} = \frac{4 \pm 2}{6} = \left\{ 1, \frac{1}{3} \right\} \]

Проверяем вторую производную:

\[ f''(x) = 6x - 4 \]

Для \( x = 1 \): \[ f''(1) = 6 \cdot 1 - 4 = 2 > 0 \quad \text{(минимум)} \]

Для \( x = \frac{1}{3} \): \[ f''\left(\frac{1}{3}\right) = 6 \cdot \frac{1}{3} - 4 = 2 - 4 = -2 < 0 \quad \text{(максимум)} \]

Итак, точки экстремума:

Максимум в \( x = \frac{1}{3} \)
Минимум в \( x = 1 \)

2) \( f(x) = e^{2x - 8} \)

Найдем производную:

\[ f'(x) = 2e^{2x - 8} \]

Приравняем производную к нулю:

\[ 2e^{2x - 8} = 0 \]

Функция \( e^{2x - 8} \) никогда не равна нулю, следовательно, экстремумы отсутствуют.

3. Интервалы возрастания и убывания функции \( f(x) = -23 - 23 - 2x^2 + x + 3 \)

Упростим функцию:

\[ f(x) = -2x^2 + x - 20 \]

Найдем производную:

\[ f'(x) = -4x + 1 \]

Приравняем к нулю:

\[ -4x + 1 = 0 \implies x = \frac{1}{4} \]

Проверим знак производной:

\( f'(x) > 0 \) при \( x < \frac{1}{4} \) (функция возрастает)
\( f'(x) < 0 \) при \( x > \frac{1}{4} \) (функция убывает)

Таким образом:

Функция возрастает на \( (-\infty, \frac{1}{4}) \)
Функция убывает на \( (\frac{1}{4}, +\infty) \)

4. Найти значение функции на интервале \([-1; 2]\)

Вам не совсем ясна формула функции. Уточните функцию, чтобы мы могли посчитать.

5. Наибольшее и наименьшее значения функции \( f(x) = x^3 - 2x^2 + x + 8 \) на отрезке \([0; \text{?}]\)

Давайте укажем границы отрезка. Если крайняя правая граница отрезка известна, то мы можем использовать ранее найденные экстремумы:

Проверяем значения в крайних точках отрезка и в стационарных точках.
Сравниваем значения \( f(0) \), \( f(1) \), \( f\left(\frac{1}{3}\right) \) и \( f(2) \) (если верхний предел 2).

Пожалуйста, уточните 4-й и 5-й вопросы.

Question 2

1. Найти стационарные точки Функции / (*) = **- 2х* + x+8. 2. Найти экстремумы функции: 1) /(x) =x-2x+x+3; 2) f (x)- e* (2x -8). 3. Найти интервалы возрастения и убывания функции. f (x) -23- 23-2x*+x+3. 4. IOCTPORTI PpADHK DyEKIIEH / (x) - فيو - 2xي3 + * +8 H8 orpes ке [- 1; 2J• 5. Найти наибольшее и наименьшее значения фухици 1(x) = x° - 2х° + x + 8 на отрезке 0; • ٠[%

Answer

Для выполнения ваших задач, мы должны сначала разобраться с каждым из пунктов. ### 1. Стационарные точки функции \( f(x) = -2x^2 + x + 8 \) Сначала найдем производную функции и приравняем её к нулю: \[ f'(x) = -4x + 1 \] Приравняем производную к нулю: \[ -4x + 1 = 0 \implies x = \frac{1}{4} \] Стационарная точка: \( x = \frac{1}{4} \). --- ### 2. Найти экстремумы функции: #### 1) \( f(x) = x^3 - 2x^2 + x + 3 \) Найдем производную: \[ f'(x) = 3x^2 - 4x + 1 \] Для нахождения экстремумов найдем корни уравнения \( f'(x) = 0 \): \[ 3x^2 - 4x + 1 = 0 \] Используем дискриминант: \[ D = (-4)^2 - 4 \cdot 3 \cdot 1 = 16 - 12 = 4 \] \[ x_{1,2} = \frac{4 \pm \sqrt{4}}{2 \cdot 3} = \frac{4 \pm 2}{6} = \left\{ 1, \frac{1}{3} \right\} \] Проверяем вторую производную: \[ f''(x) = 6x - 4 \] Для \( x = 1 \): \[ f''(1) = 6 \cdot 1 - 4 = 2 > 0 \quad \text{(минимум)} \] Для \( x = \frac{1}{3} \): \[ f''\left(\frac{1}{3}\right) = 6 \cdot \frac{1}{3} - 4 = 2 - 4 = -2 < 0 \quad \text{(максимум)} \] Итак, точки экстремума: - Максимум в \( x = \frac{1}{3} \) - Минимум в \( x = 1 \) #### 2) \( f(x) = e^{2x - 8} \) Найдем производную: \[ f'(x) = 2e^{2x - 8} \] Приравняем производную к нулю: \[ 2e^{2x - 8} = 0 \] Функция \( e^{2x - 8} \) никогда не равна нулю, следовательно, экстремумы отсутствуют. --- ### 3. Интервалы возрастания и убывания функции \( f(x) = -23 - 23 - 2x^2 + x + 3 \) Упростим функцию: \[ f(x) = -2x^2 + x - 20 \] Найдем производную: \[ f'(x) = -4x + 1 \] Приравняем к нулю: \[ -4x + 1 = 0 \implies x = \frac{1}{4} \] Проверим знак производной: - \( f'(x) > 0 \) при \( x < \frac{1}{4} \) (функция возрастает) - \( f'(x) < 0 \) при \( x > \frac{1}{4} \) (функция убывает) Таким образом: - Функция возрастает на \( (-\infty, \frac{1}{4}) \) - Функция убывает на \( (\frac{1}{4}, +\infty) \) --- ### 4. Найти значение функции на интервале \([-1; 2]\) Вам не совсем ясна формула функции. Уточните функцию, чтобы мы могли посчитать. --- ### 5. Наибольшее и наименьшее значения функции \( f(x) = x^3 - 2x^2 + x + 8 \) на отрезке \([0; \text{?}]\) Давайте укажем границы отрезка. Если крайняя правая граница отрезка известна, то мы можем использовать ранее найденные экстремумы: - Проверяем значения в крайних точках отрезка и в стационарных точках. - Сравниваем значения \( f(0) \), \( f(1) \), \( f\left(\frac{1}{3}\right) \) и \( f(2) \) (если верхний предел 2). Пожалуйста, уточните 4-й и 5-й вопросы.