В треугольнике A B C ABC угол A A равен 3 0 ∘ 30 ∘ , угол B B равен 4 5 ∘ 45 ∘ , B C = 10 2 BC=10 2 . Найдите сторону A C AC .
Чтобы найти сторону \( AC \) в треугольнике \( ABC \), нам нужно использовать теорему синусов. Эта теорема гласит, что отношение длины стороны треугольника к синусу противолежащего угла остается постоянным:
\[ \frac{a}{\sin A} = \frac{b}{\sin B} = \frac{c}{\sin C} \]
Где:
- \( a \) – сторона \( BC \)
- \( b \) – сторона \( AC \)
- \( c \) – сторона \( AB \)
- \( A \), \( B \), и \( C \) – углы треугольника.
В нашем случае:
- Угол \( A = 30^\circ \)
- Угол \( B = 45^\circ \)
- Страница \( BC = 10 \)
Сначала найдем угол \( C \):
\[ C = 180^\circ - A - B = 180^\circ - 30^\circ - 45^\circ = 105^\circ \]
Теперь можем воспользоваться теоремой синусов. Напишем уравнение для нахождения стороны \( AC \):
\[ \frac{BC}{\sin A} = \frac{AC}{\sin B} \]
Подставляем известные значения:
\[ \frac{10}{\sin 30^\circ} = \frac{AC}{\sin 45^\circ} \]
Значения синусов:
\[ \sin 30^\circ = 0.5 \quad \text{и} \quad \sin 45^\circ = \frac{\sqrt{2}}{2} \]
Теперь подставим эти значения в уравнение:
\[ \frac{10}{0.5} = \frac{AC}{\frac{\sqrt{2}}{2}} \]
Упрощаем:
\[ 20 = \frac{AC}{\frac{\sqrt{2}}{2}} \]
Умножим обе части на \(\frac{\sqrt{2}}{2}\):
\[ AC = 20 \times \frac{\sqrt{2}}{2} = 10\sqrt{2} \]
Таким образом, длина стороны \( AC \) равна \( 10\sqrt{2} \).
