Найдите промежутки монотонности квадратичной функции, заданной формулой y=3x²-15x-1
Чтобы найти промежутки монотонности квадратичной функции \( y = 3x^2 - 15x - 1 \), нам нужно выполнить несколько шагов:
Найти производную функции. Производная функции позволит нам определить, где функция возрастает или убывает. Для данной функции производная вычисляется следующим образом:
\[ y' = \frac{d}{dx}(3x^2 - 15x - 1) = 6x - 15 \]
Найти критические точки. Это точки, в которых производная равна нулю или не определена. Для нахождения критических точек приравняем производную к нулю:
\[ 6x - 15 = 0 \]
Решая это уравнение, получаем:
\[ 6x = 15 \implies x = \frac{15}{6} = 2.5 \]
Определить знаки производной. Следующим шагом будет анализ знака производной на промежутках: \( (-\infty, 2.5) \) и \( (2.5, +\infty) \).
Для промежутка \( (-\infty, 2.5) \) возьмем значение \( x = 0 \): \[ y'(0) = 6(0) - 15 = -15 < 0 \quad \text{(функция убывает)} \]
Для промежутка \( (2.5, +\infty) \) возьмем значение \( x = 3 \): \[ y'(3) = 6(3) - 15 = 18 - 15 = 3 > 0 \quad \text{(функция возрастает)} \]
Сформулировать промежутки монотонности. Из анализа знаков производной мы можем сделать вывод, что:
- Функция убывает на промежутке \( (-\infty, 2.5) \).
- Функция возрастает на промежутке \( (2.5, +\infty) \).
Таким образом, мы нашли промежутки монотонности квадратичной функции \( y = 3x^2 - 15x - 1 \): убывание на \( (-\infty, 2.5) \) и возрастание на \( (2.5, +\infty) \).
