На окружности с центром О выбрана точка А . Из этой окружности выбирают случайную точку Х . Найдите вероятность того , что угол ДОХ : а) меньше 90°; б ) больше 120°; в ) находится…

Для решения данной задачи сначала определим, как плотность распределения точек на окружности влияет на углы, образуемые с заданной точкой A.

Рассмотрим два радиуса OA и OX, образующих угол ∠DOX. Поскольку O - центр окружности, угол ∠DOX будет определяться положением точки X на окружности.

Обозначения

• Угол ∠DOX равен некоторому углу θ, который варьируется от 0° до 360°.

Чтобы найти требуемую вероятность, нам нужно знать, какая часть окружности соответствует заданным условиям по углу.

а) Вероятность того, что угол ДОХ меньше 90°.

Угол меньше 90° будет, если θ находится в пределах от 0° до 90°.

• Длина такого сектора окружности составит 90° (размер сектора).
• Полный круг имеет 360°.

Вероятность можно определить как:

\[ P(\theta < 90°) = \frac{90°}{360°} = \frac{1}{4}. \]

б) Вероятность того, что угол ДОХ больше 120°.

Угол больше 120° будет, если θ находится в пределах от 120° до 360°.

• Размер этого сектора равен (360° - 120°) = 240°.

Вероятность может быть найдена как:

\[ P(\theta > 120°) = \frac{240°}{360°} = \frac{2}{3}. \]

в) Вероятность того, что угол ДОХ находится в пределах от 30° до 60°.

Угол θ находится в пределах от 30° до 60°, так что размер этого сектора равен (60° - 30°) = 30°.

Вероятность тогда будет:

\[ P(30° < \theta < 60°) = \frac{30°}{360°} = \frac{1}{12}. \]

Ответ

а) Вероятность того, что угол ДОХ меньше 90°: \(\frac{1}{4}\).

б) Вероятность того, что угол ДОХ больше 120°: \(\frac{2}{3}\).

в) Вероятность того, что угол ДОХ находится в пределах от 30° до 60°: \(\frac{1}{12}\).