Решите уравнение x2+y2-2x+6y в целых числах. В ответ укажите наибольшее значение выражения x-3y

Чтобы решить уравнение \( x^2 + y^2 - 2x + 6y = 0 \) в целых числах, сначала упростим его. Перепишем уравнение в более удобном виде, сделав полный квадрат:

1. Начнем с \( x^2 - 2x \): \[ x^2 - 2x = (x - 1)^2 - 1 \]

2. Теперь займемся \( y^2 + 6y \): \[ y^2 + 6y = (y + 3)^2 - 9 \]

Теперь подставим всё обратно в уравнение: \[ (x - 1)^2 - 1 + (y + 3)^2 - 9 = 0 \] \[ (x - 1)^2 + (y + 3)^2 - 10 = 0 \] \[ (x - 1)^2 + (y + 3)^2 = 10 \]

Теперь мы имеем уравнение окружности с центром в точке \( (1, -3) \) и радиусом \( \sqrt{10} \). Поскольку \( 10 \) не является числом, позволяющим нам получить целые координаты, нам нужно проверить, какие целочисленные координаты находятся на этой окружности.

Для этого, рассмотри все возможные пары \( (a, b) \) такие, что \( a^2 + b^2 = 10 \). Вот возможные варианты:

1. \( (1, 3) \) и \( (-1, 3) \)
2. \( (3, 1) \) и \( (3, -1) \)
3. \( (-3, 1) \) и \( (-3, -1) \)
4. \( (0, \pm 3) \) и \( (0, \pm 3) \)

Подставим найденные пары в выражение \( x - 3y \):

1. Для \( (1, 1) \): \( 1 - 3 \cdot 1 = -2 \)
2. Для \( (1, -1) \): \( 1 - 3 \cdot (-1) = 4 \)
3. Для \( (3, 1) \): \( 3 - 3 \cdot 1 = 0 \)
4. Для \( (3, -1) \): \( 3 - 3 \cdot (-1) = 6 \)
5. Для \( (-1, 1) \): \( -1 - 3 \cdot 1 = -4 \)
6. Для \( (-1, -1) \): \( -1 - 3 \cdot (-1) = 2 \)

Сравнив все значения \( x - 3y \), мы видим, что наибольшее значение получается при \( (3, -1) \):

\[ \boxed{6} \]

Таким образом, наибольшее значение выражения \( x - 3y \) при целых \( x \) и \( y \) равно \( 6 \).