Сколько существует пар натуральных чисел (x;y) таких, что, 3x+4y=100

Чтобы найти количество пар натуральных чисел \((x; y)\), удовлетворяющих уравнению \(3x + 4y = 100\), начнем с преобразования уравнения.

1. Выразим одно из чисел через другое. Например, выразим \(y\): \[ 4y = 100 - 3x \implies y = \frac{100 - 3x}{4} \]

2. Поскольку \(y\) должно быть натуральным числом, выражение \(100 - 3x\) должно быть положительным и делиться на 4. Это значит: \[ 100 - 3x > 0 \implies 3x < 100 \implies x < \frac{100}{3} \approx 33.33 \] Следовательно, возможные значения для \(x\) - это натуральные числа от 1 до 33.

3. Теперь найдем, при каких условиях \(100 - 3x\) делится на 4. Для этого рассмотрим остаток от деления на 4: \[ 100 \mod 4 = 0, \quad 3x \mod 4 = 3(x \mod 4) \] То есть \(100 - 3x \equiv 0 \mod 4\) эквивалентно: \[ 3(x \mod 4) \equiv 0 \mod 4 \] Поскольку \(3\) и \(4\) являются взаимно простыми числами, это означает, что \(x \mod 4\) должно быть равно \(0\).

4. Следовательно, \(x\) должно принимать значения, кратные 4. Возможные значения для \(x\) в диапазоне от 1 до 33:

   • \(4, 8, 12, 16, 20, 24, 28, 32\)

5. Посчитаем количество таких значений:

   • \(4, 8, 12, 16, 20, 24, 28, 32\) - это 8 значений.

Теперь для каждого из этих значений \(x\) можно найти соответствующее \(y\):

• Например, для \(x = 4\): \[ y = \frac{100 - 3 \cdot 4}{4} = \frac{100 - 12}{4} = \frac{88}{4} = 22 \]
• Для других значений \(x\) будет аналогично.

Таким образом, всего существует 8 пар натуральных чисел \((x; y)\), которые удовлетворяют уравнению \(3x + 4y = 100\).