Решите неравенство a) x ^ 2 < 25 б) x ^ 2 >= 1/4 в) - 2x ^ 2 < - 18 г) x ^ 2 + 1 >= 5

Question 1

Задача Задача №2398458

А

Аноним

02 декабря 2024 19:10 · публичный вопрос

А

Аноним 02 декабря 2024 19:10

Решите неравенство a) x ^ 2 < 25 б) x ^ 2 >= 1/4 в) - 2x ^ 2 < - 18 г) x ^ 2 + 1 >= 5

Answer

Давайте вместе решим эти неравенства шаг за шагом.

a) \( x^2 < 25 \)

Это неравенство можно переписать как \( x^2 - 25 < 0 \).
Далее, раскроем его: \( (x - 5)(x + 5) < 0 \).
Находим нули: \( x = 5 \) и \( x = -5 \).
Теперь определим интервалы:
- \( (-\infty, -5) \)
- \( (-5, 5) \)
- \( (5, +\infty) \)
Проверяем знаки на каждом интервале:
- На интервале \( (-\infty, -5) \): оба множителя отрицательные, произведение положительное.
- На интервале \( (-5, 5) \): один множитель отрицательный, другой положительный, произведение отрицательное.
- На интервале \( (5, +\infty) \): оба множителя положительные, произведение положительное.
Следовательно, решение неравенства: \( (-5, 5) \).

б) \( x^2 \geq \frac{1}{4} \)

Переписываем как \( x^2 - \frac{1}{4} \geq 0 \).
Факторизуем: \( (x - \frac{1}{2})(x + \frac{1}{2}) \geq 0 \).
Находим нули: \( x = \frac{1}{2} \) и \( x = -\frac{1}{2} \).
Интервалы:
- \( (-\infty, -\frac{1}{2}) \)
- \( (-\frac{1}{2}, \frac{1}{2}) \)
- \( (\frac{1}{2}, +\infty) \)
Проверяем знаки:
- На интервале \( (-\infty, -\frac{1}{2}) \): оба множителя отрицательные, произведение положительное.
- На интервале \( (-\frac{1}{2}, \frac{1}{2}) \): один множитель отрицательный, другой положительный, произведение отрицательное.
- На интервале \( (\frac{1}{2}, +\infty) \): оба множителя положительные, произведение положительное.
Включаем нули, так как неравенство нестрогое: решение — \( (-\infty, -\frac{1}{2}] \cup [\frac{1}{2}, +\infty) \).

в) \( -2x^2 < -18 \)

Переписываем как \( 2x^2 > 18 \) (умножаем обе стороны на -1 и меняем знак неравенства).
Делим на 2: \( x^2 > 9 \).
Раскладываем на множители: \( (x - 3)(x + 3) > 0 \).
Нули: \( x = 3 \) и \( x = -3 \).
Интервалы:
- \( (-\infty, -3) \)
- \( (-3, 3) \)
- \( (3, +\infty) \)
Проверяем знаки:
- На интервале \( (-\infty, -3) \): оба множителя отрицательные, произведение положительное.
- На интервале \( (-3, 3) \): один множитель отрицательный, другой положительный, произведение отрицательное.
- На интервале \( (3, +\infty) \): оба множителя положительные, произведение положительное.
Следовательно, решение: \( (-\infty, -3) \cup (3, +\infty) \).

г) \( x^2 + 1 \geq 5 \)

Переписываем как \( x^2 \geq 4 \).
Раскладываем на множители: \( (x - 2)(x + 2) \geq 0 \).
Нули: \( x = 2 \) и \( x = -2 \).
Интервалы:
- \( (-\infty, -2) \)
- \( (-2, 2) \)
- \( (2, +\infty) \)
Проверяем знаки:
- На интервале \( (-\infty, -2) \): оба множителя отрицательные, произведение положительное.
- На интервале \( (-2, 2) \): один множитель отрицательный, другой положительный, произведение отрицательное.
- На интервале \( (2, +\infty) \): оба множителя положительные, произведение положительное.
Включаем нули: решение — \( (-\infty, -2] \cup [2, +\infty) \).

Если у вас есть вопросы по каждому из шагов решения, не стесняйтесь спрашивать!

Question 2

Решите неравенство a) x ^ 2 < 25 б) x ^ 2 >= 1/4 в) - 2x ^ 2 < - 18 г) x ^ 2 + 1 >= 5

Answer

Давайте вместе решим эти неравенства шаг за шагом. a) \( x^2 < 25 \) 1. Это неравенство можно переписать как \( x^2 - 25 < 0 \). 2. Далее, раскроем его: \( (x - 5)(x + 5) < 0 \). 3. Находим нули: \( x = 5 \) и \( x = -5 \). 4. Теперь определим интервалы: - \( (-\infty, -5) \) - \( (-5, 5) \) - \( (5, +\infty) \) 5. Проверяем знаки на каждом интервале: - На интервале \( (-\infty, -5) \): оба множителя отрицательные, произведение положительное. - На интервале \( (-5, 5) \): один множитель отрицательный, другой положительный, произведение отрицательное. - На интервале \( (5, +\infty) \): оба множителя положительные, произведение положительное. 6. Следовательно, решение неравенства: \( (-5, 5) \). б) \( x^2 \geq \frac{1}{4} \) 1. Переписываем как \( x^2 - \frac{1}{4} \geq 0 \). 2. Факторизуем: \( (x - \frac{1}{2})(x + \frac{1}{2}) \geq 0 \). 3. Находим нули: \( x = \frac{1}{2} \) и \( x = -\frac{1}{2} \). 4. Интервалы: - \( (-\infty, -\frac{1}{2}) \) - \( (-\frac{1}{2}, \frac{1}{2}) \) - \( (\frac{1}{2}, +\infty) \) 5. Проверяем знаки: - На интервале \( (-\infty, -\frac{1}{2}) \): оба множителя отрицательные, произведение положительное. - На интервале \( (-\frac{1}{2}, \frac{1}{2}) \): один множитель отрицательный, другой положительный, произведение отрицательное. - На интервале \( (\frac{1}{2}, +\infty) \): оба множителя положительные, произведение положительное. 6. Включаем нули, так как неравенство нестрогое: решение — \( (-\infty, -\frac{1}{2}] \cup [\frac{1}{2}, +\infty) \). в) \( -2x^2 < -18 \) 1. Переписываем как \( 2x^2 > 18 \) (умножаем обе стороны на -1 и меняем знак неравенства). 2. Делим на 2: \( x^2 > 9 \). 3. Раскладываем на множители: \( (x - 3)(x + 3) > 0 \). 4. Нули: \( x = 3 \) и \( x = -3 \). 5. Интервалы: - \( (-\infty, -3) \) - \( (-3, 3) \) - \( (3, +\infty) \) 6. Проверяем знаки: - На интервале \( (-\infty, -3) \): оба множителя отрицательные, произведение положительное. - На интервале \( (-3, 3) \): один множитель отрицательный, другой положительный, произведение отрицательное. - На интервале \( (3, +\infty) \): оба множителя положительные, произведение положительное. 7. Следовательно, решение: \( (-\infty, -3) \cup (3, +\infty) \). г) \( x^2 + 1 \geq 5 \) 1. Переписываем как \( x^2 \geq 4 \). 2. Раскладываем на множители: \( (x - 2)(x + 2) \geq 0 \). 3. Нули: \( x = 2 \) и \( x = -2 \). 4. Интервалы: - \( (-\infty, -2) \) - \( (-2, 2) \) - \( (2, +\infty) \) 5. Проверяем знаки: - На интервале \( (-\infty, -2) \): оба множителя отрицательные, произведение положительное. - На интервале \( (-2, 2) \): один множитель отрицательный, другой положительный, произведение отрицательное. - На интервале \( (2, +\infty) \): оба множителя положительные, произведение положительное. 6. Включаем нули: решение — \( (-\infty, -2] \cup [2, +\infty) \). Если у вас есть вопросы по каждому из шагов решения, не стесняйтесь спрашивать!