Задача 3. Колебательный контур радиоприёмника настроен на радиостанцию, работающую на волне 100 м. Как нужно изменить ёмкость конденсатора колебательного контура, чтобы он был настроен на волну 25 м? Индуктивность катушки при этом не изменяется. Выберите правильный ответ: 1) Увеличить в 4 раза 2) Уменьшить в 4 раза 3) Увеличить в 16 раз 4) Уменьшить в 16 раз Указание: как и в предыдущей задаче, необходимо объединить формулу Томсона и определение длины волны. Получается формула: = с 2𝜋√𝐿𝐶, путём анализа которой и решается данная задача.
Для решения задачи начнем с формулы для длины волны, которая связывает её с индуктивностью \(L\) и ёмкостью \(C\) колебательного контура. Формула имеет вид:
\[ \lambda = c \cdot 2\pi \sqrt{L C} \]
где:
- \(\lambda\) — длина волны,
- \(c\) — скорость света (примерно \(3 \times 10^8\) м/с),
- \(L\) — индуктивность катушки,
- \(C\) — ёмкость конденсатора.
Сначала найдем отношение ёмкости, когда длина волны изменяется с 100 м на 25 м.
- Запишем уравнения для длины волны при обеих настройках:
\[ \lambda_1 = c \cdot 2\pi \sqrt{L C_1} \quad (\text{для } \lambda_1 = 100 \text{ м}) \] \[ \lambda_2 = c \cdot 2\pi \sqrt{L C_2} \quad (\text{для } \lambda_2 = 25 \text{ м}) \]
- Сопоставив обе формулы и устранив \(c\) и \(2\pi\), получим:
\[ 100 = \sqrt{L C_1} \implies 100^2 = L C_1 \implies C_1 = \frac{100^2}{L} \]
\[ 25 = \sqrt{L C_2} \implies 25^2 = L C_2 \implies C_2 = \frac{25^2}{L} \]
- Теперь рассчитаем C1 и C2:
\[ C_1 = \frac{10000}{L} \] \[ C_2 = \frac{625}{L} \]
- Найдем отношение ёмкостей:
\[ \frac{C_1}{C_2} = \frac{\frac{10000}{L}}{\frac{625}{L}} = \frac{10000}{625} = 16 \]
- Таким образом, мы видим, что:
\[ C_1 = 16 C_2 \implies C_2 = \frac{C_1}{16} \]
Это означает, что ёмкость конденсатора нужно уменьшить в 16 раз, чтобы настроиться на волну 25 м.
Ответ: 4) Уменьшить в 16 раз.
