Тип 21 № 311245 Из пункта А в пункт В, расположенный ниже по течению реки, отправился плот. Одновременно навстречу ему из пункта В вышел катер. Встретив плот, катер сразу повернул и поплыл назад. Какую часть пути от А до В пройдет плот к моменту возвращения катера в пункт В, если скорость катера в стоячей воде вчетверо больше скорости течения реки? Тип 21 № 311621 Моторная лодка прошла 36 км по течению реки и вернулась обратно, потратив на весь путь 5 часов. Скорость течения реки равна 3 км/ч. Найдите скорость лодки в неподвижной воде.

Давайте разберем оба задания по очереди.

Задание 1:

Тип 21 № 311245

Обозначим:

• \( v_c \) — скорость катера в стоячей воде,
• \( v_r \) — скорость течения реки.

Условие задачи гласит, что \( v_c = 4v_r \).

Когда плот движется вниз по течению, его эффективная скорость будет \( v_p = v_r \). Катер движется вверх по течению, и его скорость относительно берега будет \( v_c - v_r \).

Когда катер встретит плот, расстояние, которое прошел плот, обозначим как \( S_p \), а расстояние, которое прошел катер, обозначим как \( S_c \). В момент встречи расстояния будут равны:

1. Время \( t_1 \) (время, которое прошел плот до встречи) можно найти по формуле: \[ t_1 = \frac{S_p}{v_p} = \frac{S_p}{v_r} \]

2. Время \( t_2 \) (время, которое потратил катер на встречу) будет: \[ t_2 = \frac{S_c}{v_c - v_r} = \frac{S_c}{4v_r - v_r} = \frac{S_c}{3v_r} \]

На момент встречи площади, прошедшие оба судна, равны, то есть \( S_c = S_p \). Тогда мы можем записать: \[ \frac{S_p}{v_r} = \frac{S_p}{3v_r} \]

Отсюда видно, что: \[ t_1 = 3t_2 \] Следовательно, когда катер вернется в пункт В, плот продолжит двигаться вниз по течению на то же время, что катер двигался вверх. Таким образом, в момент возвращения катера в пункт В, плот пройдет часть пути.

Плот пройдет часть пути, равную: \[ \frac{1}{4} \text{ от A до B }. \]

Задание 2:

Тип 21 № 311621

Обозначим:

• \( v_b \) — скорость моторной лодки в стоячей воде.

Дано:

• Скорость течения реки \( v_r = 3 \) км/ч.
• Лодка прошла 36 км по течению реки и вернулась обратно, потратив на весь путь 5 часов.

Во время движения вниз по течению (к пункту В) лодка движется со следующей скоростью: \[ v_{down} = v_b + v_r = v_b + 3 \] Во время движения вверх по течению (к пункту А): \[ v_{up} = v_b - v_r = v_b - 3 \]

Теперь найдём время, затраченное на каждую часть пути:

1. Время, затраченное на сплав по течению: \[ t_{down} = \frac{36}{v_b + 3} \]

2. Время, затраченное на возврат: \[ t_{up} = \frac{36}{v_b - 3} \]

Общая сумма времени: \[ t_{down} + t_{up} = 5 \]

Итак: \[ \frac{36}{v_b + 3} + \frac{36}{v_b - 3} = 5 \]

Для упрощения уравнения, можно умножить обе стороны на \( (v_b + 3)(v_b - 3) \): \[ 36(v_b - 3) + 36(v_b + 3) = 5(v_b^2 - 9) \]

Раскрываем скобки: \[ 36v_b - 108 + 36v_b + 108 = 5v_b^2 - 45 \] Получаем уравнение: \[ 72v_b = 5v_b^2 - 45 \] Переносим все к одной стороне: \[ 5v_b^2 - 72v_b - 45 = 0 \]

Теперь можно решить это квадратное уравнение с помощью дискриминанта: \[ D = (-72)^2 - 4 \cdot 5 \cdot (-45) = 5184 + 900 = 6084 \]

Находим корни: \[ v_b = \frac{72 \pm \sqrt{6084}}{2 \cdot 5} \]

Вычисляем: \[ \sqrt{6084} = 78 \]

Теперь подставим значения: \[ v_b = \frac{72 + 78}{10} = 15 \quad \text{или} \quad v_b = \frac{72 - 78}{10} = -0.6 \quad (\text{не подходит, скорость не может быть отрицательной}) \]

Таким образом, скорость лодки в неподвижной воде равна 15 км/ч.

Если у вас остались вопросы или требуется дополнительная помощь, не стесняйтесь обращаться!