Координаты вектора m(1;-4;-3), вектора n(5;p;-15) При каком значение p векторы m и n 1) коллинеарны 2) перпендикулярны

Чтобы определить условия для коллинеарности и перпендикулярности векторов \( m(1; -4; -3) \) и \( n(5; p; -15) \), начнем с анализа каждой ситуации.

1) Коллинеарность векторов

Векторы коллинеарны, если один из них является кратным другому. Это значит, что их соответствующие компоненты пропорциональны. Для векторов \( m \) и \( n \) это можно записать как:

\[ \frac{1}{5} = \frac{-4}{p} = \frac{-3}{-15} \]

Рассмотрим первое и третье равенство:

\[ \frac{1}{5} = \frac{-3}{-15} \rightarrow \frac{1}{5} = \frac{1}{5} \]

Это равенство действительно. Теперь найдем значение \( p \):

\[ \frac{1}{5} = \frac{-4}{p} \quad \Rightarrow \quad 1 \cdot p = 5 \cdot (-4) \quad \Rightarrow \quad p = -20 \]

Таким образом, векторы \( m \) и \( n \) будут коллинеарны при \( p = -20 \).

2) Перпендикулярность векторов

Два вектора перпендикулярны, если их скалярное произведение равно нулю. Скалярное произведение векторов \( m \) и \( n \) можно записать так:

\[ m \cdot n = 1 \cdot 5 + (-4) \cdot p + (-3) \cdot (-15) = 0 \]

Упростим это уравнение:

\[ 5 - 4p + 45 = 0 \]

Объединим подобные члены:

\[ 50 - 4p = 0 \quad \Rightarrow \quad 4p = 50 \quad \Rightarrow \quad p = \frac{50}{4} = 12.5 \]

Таким образом, векторы \( m \) и \( n \) будут перпендикулярны при \( p = 12.5 \).

Итого

1. Векторы коллинеарны при \( p = -20 \).
2. Векторы перпендикулярны при \( p = 12.5 \).