.

Привет! Давай разберёмся, как находить степени комплексных чисел, заданных в тригонометрической форме.

1. Разберёмся с общим методом:
   • В тригонометрической форме комплексное число записывается как r(cos θ + i sin θ).
   • Чтобы возвести его в степень, используем формулу: [r(cos θ + i sin θ)]^n = r^n (cos(nθ) + i sin(nθ)).

Теперь применим это правило к каждому числу:

1. z₁ = 9(cos 123° + i sin 123°):

   • z₁² = 9² * (cos(2123°) + i sin(2123°)) = 81(cos 246° + i sin 246°).

2. z₂ = 4(cos π/6 + i sin π/6):

   • z₂³ = 4³ * (cos(3π/6) + i sin(3π/6)) = 64(cos π/2 + i sin π/2).
   • Заметь, что cos π/2 = 0 и sin π/2 = 1, так что z₂³ = 64i.

3. z₃ = 8(cos 235° + i sin 235°):

   • z₃⁴ = 8⁴ * (cos(4235°) + i sin(4235°)) = 4096(cos 940° + i sin 940°).
   • 940° равносильно 940° - 2*360° = 220°, так что z₃⁴ = 4096(cos 220° + i sin 220°).

4. z₄ = 3(cos(-π/4) + i sin(-π/4)):

   • z₄⁵ = 3⁵ * (cos(5*(-π/4)) + i sin(5*(-π/4))) = 243(cos(-5π/4) + i sin(-5π/4)).
   • -5π/4 эквивалентен -5π/4 + 2π = 3π/4, так что z₄⁵ = 243(cos 3π/4 + i sin 3π/4).

Вот и весь расчет! Если есть вопросы, не стесняйся спрашивать.