X^6-9x^2+8=0

Чтобы решить уравнение \(x^6 - 9x^2 + 8 = 0\), мы можем попробовать сделать замену переменной. Давайте введем замену \(y = x^2\). В таком случае, уравнение можно переписать как:

\[y^3 - 9y + 8 = 0\]

Теперь нам нужно решить это кубическое уравнение. Мы можем попробовать найти корни с помощью подбора. Начнем с проверки целых чисел:

1. Проверим \(y = 1\): \[1^3 - 9 \cdot 1 + 8 = 1 - 9 + 8 = 0\]

Таким образом, \(y = 1\) является корнем уравнения.

Теперь мы можем разложить кубическое уравнение, используя \(y - 1\) в качестве одного из множителей. Для этого мы применим деление многочленов. Разделим \(y^3 - 9y + 8\) на \(y - 1\):

1. При делении \(y^3\) на \(y\) получаем \(y^2\).
2. Умножим \(y^2 \cdot (y - 1) = y^3 - y^2\) и вычтем: \[y^3 - 9y + 8 - (y^3 - y^2) = y^2 - 9y + 8\]
3. Далее делим \(y^2\) на \(y\), получаем \(y\).
4. Умножаем \(y \cdot (y - 1) = y^2 - y\) и вычитаем: \[y^2 - 9y + 8 - (y^2 - y) = -8y + 8\]
5. Делим \(-8y\) на \(y\), получаем \(-8\).
6. Умножаем \(-8 \cdot (y - 1) = -8y + 8\) и вычитаем: \[-8y + 8 - (-8y + 8) = 0\]

Таким образом, мы можем записать:

\[y^3 - 9y + 8 = (y - 1)(y^2 + y - 8)\]

Теперь решим квадратное уравнение \(y^2 + y - 8 = 0\) с помощью дискриминанта:

Дискриминант \(D = b^2 - 4ac = 1^2 - 4 \cdot 1 \cdot (-8) = 1 + 32 = 33\).

Теперь найдем корни:

\[y = \frac{-b \pm \sqrt{D}}{2a} = \frac{-1 \pm \sqrt{33}}{2}\]

Теперь мы имеем три корня для \(y\):

1. \(y_1 = 1\)
2. \(y_2 = \frac{-1 + \sqrt{33}}{2}\)
3. \(y_3 = \frac{-1 - \sqrt{33}}{2}\)

Теперь помним, что \(y = x^2\), следовательно:

1. Для \(y_1 = 1\): \(x^2 = 1\) → \(x = \pm 1\).
2. Для \(y_2 = \frac{-1 + \sqrt{33}}{2}\): \(x^2 = \frac{-1 + \sqrt{33}}{2}\) → \(x = \pm \sqrt{\frac{-1 + \sqrt{33}}{2}}\).
3. Для \(y_3 = \frac{-1 - \sqrt{33}}{2}\): \(x^2 = \frac{-1 - \sqrt{33}}{2}\) (это значение отрицательное, и решения не будет).

Таким образом, итоговые решения уравнения \(x^6 - 9x^2 + 8 = 0\) таковы:

\[x = 1, x = -1, x = \sqrt{\frac{-1 + \sqrt{33}}{2}}, x = -\sqrt{\frac{-1 + \sqrt{33}}{2}}\].