не выполняя построения найдите координаты точек пересечения окружности х2+у2=17 и прямой 5х-3у=17
Чтобы найти координаты точек пересечения окружности \(x^2 + y^2 = 17\) и прямой \(5x - 3y = 17\), сначала выразим \(y\) через \(x\) из уравнения прямой.
Перепишем уравнение прямой: \[ 5x - 3y = 17 \implies 3y = 5x - 17 \implies y = \frac{5}{3}x - \frac{17}{3} \]
Теперь подставим это значение \(y\) в уравнение окружности: \[ x^2 + \left(\frac{5}{3}x - \frac{17}{3}\right)^2 = 17 \]
Раскроем квадрат: \[ \left(\frac{5}{3}x - \frac{17}{3}\right)^2 = \frac{25}{9}x^2 - \frac{2 \cdot 5 \cdot 17}{9}x + \frac{289}{9} = \frac{25}{9}x^2 - \frac{170}{9}x + \frac{289}{9} \]
Подставим это обратно в уравнение окружности: \[ x^2 + \frac{25}{9}x^2 - \frac{170}{9}x + \frac{289}{9} = 17 \]
Преобразуем уравнение, умножив всё на 9, чтобы избавиться от дробей: \[ 9x^2 + 25x^2 - 170x + 289 = 153 \]
Упростим: \[ 34x^2 - 170x + 136 = 0 \]
Разделим уравнение на 2: \[ 17x^2 - 85x + 68 = 0 \]
Используем формулу для нахождения корней квадратного уравнения \(x = \frac{-b \pm \sqrt{b^2 - 4ac}}{2a}\): \[ b^2 - 4ac = (-85)^2 - 4 \cdot 17 \cdot 68 = 7225 - 4624 = 2601 \]
Найдём корни: \[ x = \frac{85 \pm 51}{34} \] \[ x_1 = \frac{136}{34} = 4, \quad x_2 = \frac{34}{34} = 1 \]
Теперь найдем соответствующие значения \(y\) для каждого \(x\):
Для \(x = 4\): \[ y = \frac{5}{3} \cdot 4 - \frac{17}{3} = \frac{20}{3} - \frac{17}{3} = 1 \] Точка: \((4, 1)\)
Для \(x = 1\): \[ y = \frac{5}{3} \cdot 1 - \frac{17}{3} = \frac{5}{3} - \frac{17}{3} = -4 \] Точка: \((1, -4)\)
Таким образом, координаты точек пересечения окружности и прямой: \[ (4, 1) \quad \text{и} \quad (1, -4) \]
