x⁴–2x²–3=0
Для решения уравнения \( x^4 - 2x^2 - 3 = 0 \) начнем с того, что мы заметим, что это уравнение можно упростить, сделав замену переменной. Обозначим \( y = x^2 \). Тогда уравнение принимает следующий вид:
\[ y^2 - 2y - 3 = 0. \]
Теперь у нас квадратное уравнение относительно \( y \). Решим его с помощью формулы для нахождения корней квадратного уравнения \( ax^2 + bx + c = 0 \):
\[ y = \frac{-b \pm \sqrt{b^2 - 4ac}}{2a}, \]
где \( a = 1 \), \( b = -2 \), \( c = -3 \). Подставим значения в формулу:
Находим дискриминант: \[ D = b^2 - 4ac = (-2)^2 - 4 \cdot 1 \cdot (-3) = 4 + 12 = 16. \]
Теперь находим корни: \[ y_1 = \frac{2 + \sqrt{16}}{2 \cdot 1} = \frac{2 + 4}{2} = 3, \] \[ y_2 = \frac{2 - \sqrt{16}}{2 \cdot 1} = \frac{2 - 4}{2} = -1. \]
Теперь у нас есть два значения для \( y \):
- \( y_1 = 3 \)
- \( y_2 = -1 \)
Поскольку \( y = x^2 \), мы можем найти \( x \) для \( y_1 \), но для \( y_2 \) нет действительных решений, так как квадрат не может быть отрицательным.
Теперь решим \( x^2 = 3 \): \[ x = \pm \sqrt{3}. \]
Таким образом, корни уравнения \( x^4 - 2x^2 - 3 = 0 \) равны: \[ x_1 = \sqrt{3}, \quad x_2 = -\sqrt{3}. \]
Таким образом, решение данного уравнения: \( x = \sqrt{3} \) и \( x = -\sqrt{3} \).
