Решите биквадратные уравнения х⁴-4х²+4=0

Чтобы решить биквадратное уравнение \( x^4 - 4x^2 + 4 = 0 \), сначала удобно сделать замену переменной. Введем новую переменную \( y = x^2 \). Тогда уравнение преобразуется в квадратное:

\[ y^2 - 4y + 4 = 0. \]

Теперь это уравнение можно решить с помощью формулы корней квадратного уравнения \( y = \frac{-b \pm \sqrt{b^2 - 4ac}}{2a} \) с \( a = 1 \), \( b = -4 \), и \( c = 4 \):

1. Вычислим дискриминант: \[ D = b^2 - 4ac = (-4)^2 - 4 \cdot 1 \cdot 4 = 16 - 16 = 0. \]

Так как дискриминант равен нулю, у квадратного уравнения есть один (двойной) корень:

2. Найдем корень: \[ y = \frac{-(-4) \pm \sqrt{0}}{2 \cdot 1} = \frac{4}{2} = 2. \]

Теперь мы возвращаемся к переменной \( x \): \[ x^2 = 2. \]

3. Извлекаем квадратный корень: \[ x = \pm \sqrt{2}. \]

Таким образом, уравнение \( x^4 - 4x^2 + 4 = 0 \) имеет два решения:

\[ x_1 = \sqrt{2}, \quad x_2 = -\sqrt{2}. \]

Всё решение можно подвести итогом: корни биквадратного уравнения \( x^4 - 4x^2 + 4 = 0 \) — это \( x = \sqrt{2} \) и \( x = -\sqrt{2} \).