Найдите корни уравнения х²-(√2+1)х+√2=0
Для нахождения корней уравнения \(x^2 - (\sqrt{2}+1)x + \sqrt{2} = 0\) можно использовать формулу квадратного уравнения:
\[ x = \frac{-b \pm \sqrt{b^2 - 4ac}}{2a} \]
В нашем уравнении коэффициенты равны:
- \(a = 1\)
- \(b = -(\sqrt{2}+1)\)
- \(c = \sqrt{2}\)
Сначала найдем дискриминант \(D\):
\[ D = b^2 - 4ac \]
Подставим значения:
\[ D = (-(\sqrt{2}+1))^2 - 4 \cdot 1 \cdot \sqrt{2} \]
Раскроем скобки:
\[ D = (\sqrt{2}+1)^2 - 4\sqrt{2} \]
Теперь вычислим \((\sqrt{2}+1)^2\):
\[ (\sqrt{2}+1)^2 = 2 + 2\sqrt{2} + 1 = 3 + 2\sqrt{2} \]
Теперь подставим в формулу дискриминанта:
\[ D = (3 + 2\sqrt{2}) - 4\sqrt{2} = 3 - 2\sqrt{2} \]
Теперь подставим дискриминант в формулу для нахождения корней:
\[ x = \frac{\sqrt{2}+1 \pm \sqrt{3 - 2\sqrt{2}}}{2} \]
Вычислим значение \(\sqrt{3 - 2\sqrt{2}}\). Заметим, что \(3 - 2\sqrt{2}\) может быть представлено как \((\sqrt{2}-1)^2\):
\[ \sqrt{3 - 2\sqrt{2}} = \sqrt{(\sqrt{2}-1)^2} = \sqrt{2} - 1 \]
Таким образом, теперь у нас есть:
\[ x = \frac{\sqrt{2}+1 \pm (\sqrt{2}-1)}{2} \]
Рассмотрим два случая:
\(x_1 = \frac{(\sqrt{2}+1) + (\sqrt{2}-1)}{2} = \frac{2\sqrt{2}}{2} = \sqrt{2}\)
\(x_2 = \frac{(\sqrt{2}+1) - (\sqrt{2}-1)}{2} = \frac{2}{2} = 1\)
Таким образом, корни уравнения:
\[ x_1 = \sqrt{2}, \quad x_2 = 1 \]
