tg(t) =2,4 π<t<3π/2 найти sin(t) cos(t) ctg(t)
Чтобы решить уравнение \( \tan(t) = 2 \) в диапазоне \( \frac{4\pi}{3} < t < \frac{3\pi}{2} \), нам нужно сначала найти значение угла \( t \).
Зная, что \( \tan(t) = \frac{\sin(t)}{\cos(t)} \), можно воспользоваться отношением угла:
\[ \tan(t) = 2 \implies \frac{\sin(t)}{\cos(t)} = 2 \]
Это дает нам связь между синусом и косинусом:
\[ \sin(t) = 2 \cos(t) \]
Теперь используем основное тригонометрическое тождество:
\[ \sin^2(t) + \cos^2(t) = 1 \]
Подставим \( \sin(t) = 2 \cos(t) \) в это тождество:
\[ (2 \cos(t))^2 + \cos^2(t) = 1 \]
Раскрывая скобки, получаем:
\[ 4 \cos^2(t) + \cos^2(t) = 1 \]
Соберем подобные:
\[ 5 \cos^2(t) = 1 \]
Следовательно, находим \( \cos(t) \):
\[ \cos^2(t) = \frac{1}{5} \implies \cos(t) = \pm \frac{1}{\sqrt{5}} \]
Так как мы ищем значение \( t \) в диапазоне \( \frac{4\pi}{3} < t < \frac{3\pi}{2} \) (в третьем квадранте), то косинус будет отрицательным:
\[ \cos(t) = -\frac{1}{\sqrt{5}} \]
Теперь найдем \( \sin(t) \):
\[ \sin(t) = 2 \cos(t) = 2 \left(-\frac{1}{\sqrt{5}}\right) = -\frac{2}{\sqrt{5}} \]
Теперь можем найти \( \cot(t) = \frac{1}{\tan(t)} \):
\[ \cot(t) = \frac{1}{2} \]
Таким образом, для значений \( \sin(t) \), \( \cos(t) \) и \( \cot(t) \) мы имеем:
- \( \sin(t) = -\frac{2}{\sqrt{5}} \)
- \( \cos(t) = -\frac{1}{\sqrt{5}} \)
- \( \cot(t) = \frac{1}{2} \)
Итак, ответ на ваш вопрос:
\[ \sin(t) = -\frac{2}{\sqrt{5}}, \quad \cos(t) = -\frac{1}{\sqrt{5}}, \quad \cot(t) = \frac{1}{2} \]
