площадь прямоугольника равна 8см², а периметр равен 12см. Найдите стороны прямоугольника

Для решения задачи сначала обозначим стороны прямоугольника как \( a \) и \( b \). Из условия задачи у нас есть две информации:

1. Площадь прямоугольника: \[ a \cdot b = 8 \quad (1) \]

2. Периметр прямоугольника: \[ 2(a + b) = 12 \quad (2) \]

Сначала упростим уравнение (2): \[ a + b = 6 \quad (3) \]

Теперь у нас есть система из двух уравнений:

1. \( a \cdot b = 8 \)
2. \( a + b = 6 \)

Из уравнения (3) выражаем одну переменную через другую. Например, выразим \( b \): \[ b = 6 - a \quad (4) \]

Теперь подставим (4) в уравнение (1): \[ a \cdot (6 - a) = 8 \]

Раскроем скобки и приведем к стандартному виду: \[ 6a - a^2 = 8 \] \[ -a^2 + 6a - 8 = 0 \]

Умножим на -1, чтобы упростить: \[ a^2 - 6a + 8 = 0 \]

Теперь применим формулу для решения квадратного уравнения \( ax^2 + bx + c = 0 \): \[ a = 1, \quad b = -6, \quad c = 8 \] \[ D = b^2 - 4ac = (-6)^2 - 4 \cdot 1 \cdot 8 = 36 - 32 = 4 \]

Теперь найдем корни уравнения: \[ a_1 = \frac{-b + \sqrt{D}}{2a} = \frac{6 + 2}{2} = \frac{8}{2} = 4 \] \[ a_2 = \frac{-b - \sqrt{D}}{2a} = \frac{6 - 2}{2} = \frac{4}{2} = 2 \]

Следовательно, у нас есть два значения для \( a \):

1. \( a = 4 \), тогда \( b = 6 - 4 = 2 \)
2. \( a = 2 \), тогда \( b = 6 - 2 = 4 \)

Таким образом, стороны прямоугольника равны \( 4 \) см и \( 2 \) см.