реши графически систему уравнений :x+y=5 , y =x²+3

Для решения графически системы уравнений \( x + y = 5 \) и \( y = x^2 + 3 \), давайте сначала представим каждое из уравнений в графическом виде.

1. Первое уравнение: \( x + y = 5 \). Это уравнение представляет собой прямую. Мы можем выразить \( y \) через \( x \): \[ y = 5 - x. \] Прямая будет пересекать ось \( y \) в точке \( (0, 5) \) и ось \( x \) в точке \( (5, 0) \).

2. Второе уравнение: \( y = x^2 + 3 \). Это уравнение представляет собой параболу, открывающуюся вверх. Минимальная точка параболы находится в вершине, которая у нас будет в точке \( (0, 3) \).

Теперь мы можем начать рисовать графики этих уравнений:

• Для первой прямой мы рисуем линию, проходящую через точки \( (0, 5) \) и \( (5, 0) \).

• Для второй функции \( y = x^2 + 3 \) мы можем построить несколько точек, например:

  • При \( x = -1 \), \( y = (-1)^2 + 3 = 4 \) (точка \( (-1, 4) \))
  • При \( x = 0 \), \( y = 0^2 + 3 = 3 \) (точка \( (0, 3) \))
  • При \( x = 1 \), \( y = 1^2 + 3 = 4 \) (точка \( (1, 4) \))
  • При \( x = 2 \), \( y = 2^2 + 3 = 7 \) (точка \( (2, 7) \))

Теперь мы можем построить параболу, проходящую через эти точки.

После того как графики обеих функций изображены, мы ищем точки их пересечения. Эти точки будут решениями нашей системы уравнений. Значения координат точек пересечения можно определить, подбирая значения \( x \) вручную или путем наблюдения за графиками.

Расстояние между графиками и их точки пересечения помогут нам понять, где функции равны, то есть \( y = 5 - x \) равно \( y = x^2 + 3 \).

Для более точного нахождения точек пересечения можно приравнять уравнения: \[ 5 - x = x^2 + 3. \] Переместим все члены в одну сторону: \[ x^2 + x - 2 = 0. \] Теперь решим это квадратное уравнение, используя формулу корней: \[ x = \frac{-b \pm \sqrt{b^2 - 4ac}}{2a}, \] где \( a = 1, b = 1, c = -2 \): \[ x = \frac{-1 \pm \sqrt{1 + 8}}{2} = \frac{-1 \pm 3}{2}. \] Таким образом, получаем два решения: \[ x_1 = 1 \quad и \quad x_2 = -2. \]

Теперь, подставив эти значения \( x \) обратно в любое из уравнений, находим соответствующие \( y \):

1. Для \( x = 1 \): \[ y = 5 - 1 = 4. \]

2. Для \( x = -2 \): \[ y = 5 - (-2) = 7. \]

Таким образом, система уравнений имеет два решения: точки пересечения находятся в точках \( (1, 4) \) и \( (-2, 7) \).