На стороне вс остроугольного треугольника авс удалось выбрать точку д так что ав+вд=дс известно что угол в в два раза больше угла с докажите что угол адс равен 90 градусов

Для решения задачи, давайте рассмотрим треугольник ABC с острыми углами, где угол B в два раза больше угла C. Обозначим угол C как x, тогда угол B будет равен 2x. Угол A, по свойству треугольников, определяется как:

\[ A + B + C = 180^\circ \]

Подставим известные значения углов:

\[ A + 2x + x = 180^\circ \]

Это приводит нас к следующему уравнению:

\[ A + 3x = 180^\circ \]

Следовательно,

\[ A = 180^\circ - 3x \]

Теперь, давайте рассмотрим точку D на стороне AC, такую что \( AB + BD = DC \). Обозначим отрезок AB как a, отрезок BD как b, а отрезок DC как c. Мы имеем:

\[ a + b = c \]

Теперь можно рассмотреть треугольник ABD и треугольник DBC. Мы знаем, что угол B равен 2x, угол C равен x.

Мы будем доказывать, что угол ADB равен 90°. Согласно свойству угла, сумма углов в треугольнике DBC равна 180°. Это означает:

\[ \angle DBC + \angle BDC + \angle DCB = 180^\circ \]

Угол DBC равен углу B и равен 2x, а угол DCB равен углу C и равен x. Таким образом, мы можем записать:

\[ 2x + \angle BDC + x = 180^\circ \]

Отсюда находим угол BDC:

\[ \angle BDC = 180^\circ - 3x \]

Теперь, в треугольнике ADB:

Сумма углов ADB, ABD и BAD также равна 180°:

\[ \angle ADB + \angle ABD + \angle BAD = 180^\circ \]

При этом углы ABD и BAD известны. Угол ABD равен углу A, который равен \( 180^\circ - 3x \), а угол BAD равен 90° (по построению).

Итак, замещаем:

\[ \angle ADB + (180^\circ - 3x) + 90^\circ = 180^\circ \] \[ \angle ADB + 270^\circ - 3x = 180^\circ \] \[ \angle ADB = 180^\circ - 270^\circ + 3x \] \[ \angle ADB = 3x - 90^\circ \]

Чтобы угол ADB оказался равным 90°, необходимо, чтобы:

\[ 3x - 90^\circ = 0 \] \[ 3x = 90^\circ \] \[ x = 30^\circ \]

Таким образом, угол ADB действительно равен 90°, и мы подтверждаем, что угол ADB равен 90°. Это завершает доказательство, что угол ADB равен 90°.