Докажите, что п³+2 не делится на 9 ни при каком натуральном п.

Чтобы доказать, что \( p^3 + 2 \) не делится на 9 при любом натуральном \( p \), рассмотрим возможные значения \( p \) по модулю 9. Это значит, что нам нужно оценить \( p^3 \) для всех остатков \( p \) по модулю 9 (то есть \( 0, 1, 2, \ldots, 8 \)).

1. \( p \equiv 0 \mod 9 \): \[ p^3 \equiv 0^3 \equiv 0 \mod 9 \quad \Rightarrow \quad p^3 + 2 \equiv 0 + 2 \equiv 2 \mod 9 \]

2. \( p \equiv 1 \mod 9 \): \[ p^3 \equiv 1^3 \equiv 1 \mod 9 \quad \Rightarrow \quad p^3 + 2 \equiv 1 + 2 \equiv 3 \mod 9 \]

3. \( p \equiv 2 \mod 9 \): \[ p^3 \equiv 2^3 \equiv 8 \mod 9 \quad \Rightarrow \quad p^3 + 2 \equiv 8 + 2 \equiv 10 \equiv 1 \mod 9 \]

4. \( p \equiv 3 \mod 9 \): \[ p^3 \equiv 3^3 \equiv 27 \equiv 0 \mod 9 \quad \Rightarrow \quad p^3 + 2 \equiv 0 + 2 \equiv 2 \mod 9 \]

5. \( p \equiv 4 \mod 9 \): \[ p^3 \equiv 4^3 \equiv 64 \equiv 1 \mod 9 \quad \Rightarrow \quad p^3 + 2 \equiv 1 + 2 \equiv 3 \mod 9 \]

6. \( p \equiv 5 \mod 9 \): \[ p^3 \equiv 5^3 \equiv 125 \equiv 8 \mod 9 \quad \Rightarrow \quad p^3 + 2 \equiv 8 + 2 \equiv 10 \equiv 1 \mod 9 \]

7. \( p \equiv 6 \mod 9 \): \[ p^3 \equiv 6^3 \equiv 216 \equiv 0 \mod 9 \quad \Rightarrow \quad p^3 + 2 \equiv 0 + 2 \equiv 2 \mod 9 \]

8. \( p \equiv 7 \mod 9 \): \[ p^3 \equiv 7^3 \equiv 343 \equiv 1 \mod 9 \quad \Rightarrow \quad p^3 + 2 \equiv 1 + 2 \equiv 3 \mod 9 \]

9. \( p \equiv 8 \mod 9 \): \[ p^3 \equiv 8^3 \equiv 512 \equiv 8 \mod 9 \quad \Rightarrow \quad p^3 + 2 \equiv 8 + 2 \equiv 10 \equiv 1 \mod 9 \]

Теперь мы видим, что для всех возможных значений \( p \) по модулю 9 результат \( p^3 + 2 \) не равен 0. Это означает, что \( p^3 + 2 \) не может делиться на 9 для любого натурального \( p \).

Итак, мы можем concluir, что \( p^3 + 2 \) действительно не делится на 9 ни при каком натуральном \( p \).