В треугольнике АВС известно, что АВ = ВС, АС =24, Найдите сторону АВ, если площадь треугольника АВС равна 108.

В данном случае у нас есть равнобедренный треугольник ABC, где AB = BC и AC = 24. Площадь треугольника равна 108. Нам необходимо найти сторону AB.

Для начала, обозначим сторону AB как x. Поскольку AB = BC, то BC также будет равен x.

Площадь треугольника можно выразить через основание и высоту. В нашем случае основанием будет сторона AC = 24, а высоту можно найти, используя формулу для площади треугольника:

\[ S = \frac{1}{2} \cdot \text{основание} \cdot \text{высота} \]

Подставим известные значения:

\[ 108 = \frac{1}{2} \cdot 24 \cdot h \]

Решая уравнение, получаем:

\[ 108 = 12h \]

\[ h = \frac{108}{12} = 9 \]

Теперь нам нужно найти x, используя высоту. В равнобедренном треугольнике высота, опущенная из вершины A на основание BC, делит сегмент BC на две равные части, то есть:

\[ BM = MC = \frac{24}{2} = 12 \]

Теперь мы можем применить теорему Пифагора в треугольнике ABM, где AB является гипотенузой:

\[ AB^2 = AM^2 + BM^2 \]

Подставляя известные значения:

\[ x^2 = 9^2 + 12^2 \]

\[ x^2 = 81 + 144 \]

\[ x^2 = 225 \]

Теперь находим x:

\[ x = \sqrt{225} = 15 \]

Таким образом, длина стороны AB равна 15.