Y=(x^2-3)•3x

Чтобы исследовать функцию \( y = (x^2 - 3) \cdot 3x \), давайте сначала упростим это выражение.

1. Раскроем скобки: \[ y = 3x \cdot (x^2 - 3) = 3x^3 - 9x \]

Теперь у нас есть простейшая форма функции \( y = 3x^3 - 9x \).

2. Найдем производную, чтобы выяснить, где функция имеет экстремумы (максимумы или минимумы): \[ y' = \frac{d}{dx}(3x^3 - 9x) = 9x^2 - 9 \]

3. Поставим производную равной нулю для нахождения критических точек: \[ 9x^2 - 9 = 0 \] \[ 9(x^2 - 1) = 0 \] \[ x^2 - 1 = 0 \implies (x - 1)(x + 1) = 0 \]

Таким образом, \( x = 1 \) и \( x = -1 \).

4. Теперь давайте проверим, является ли каждая из этих точек минимумом или максимумом, используя второй производный тест: \[ y'' = \frac{d^2}{dx^2}(3x^3 - 9x) = 18x \]

Теперь подставим критические точки:

• Для \( x = 1 \): \[ y''(1) = 18 \cdot 1 = 18 > 0 \quad (\text{минимум}) \]
• Для \( x = -1 \): \[ y''(-1) = 18 \cdot (-1) = -18 < 0 \quad (\text{максимум}) \]

5. Наконец, можно найти значения функции в этих точках:

• \( y(1) = 3(1)^3 - 9(1) = 3 - 9 = -6 \)
• \( y(-1) = 3(-1)^3 - 9(-1) = -3 + 9 = 6 \)

Таким образом, функция имеет максимум в точке \( (-1, 6) \) и минимум в точке \( (1, -6) \). Если у вас есть другие вопросы по этой теме или требуется помощь в другой области, не стесняйтесь спрашивать!